Feltételes valószínűség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az A eseménynek a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége megadja az A esemény bekövetkezésének a valószínűségét, feltéve hogy a B esemény már bekövetkezett vagy bekövetkezik. Jelölése P(A | B), szóban: A feltéve B.

Két esemény[forrásszöveg szerkesztése]

Ha A és B események, és B valószínűsége pozitív, akkor

ahol annak a valószínűsége, hogy mindkét esemény bekövetkezik. Így is írják: illetve .

A feltételes valószínűség kiszámítására szolgáló képletet átalakítva:

Ha A és B független, akkor

Ha csak P(B), P(A|B) és P(B|A) ismert, akkor A valószínűsége:

ahol a B esemény komplementerét jelöli.

A Bayes-tétellel kiszámítható az egyik feltételes valószínűség a másik feltételes valószínűség és a nem feltételes valószínűségek segítségével:

Véges sok esemény[forrásszöveg szerkesztése]

Nemcsak két eseményt tekinthetünk, hanem többet is. Jelölje őket rendre !

A két eseményre vonatkozó képletet általánosítva:

A számítás döntési fával modellezhető.

Folytonos valószínűségi változók[forrásszöveg szerkesztése]

Az közös sűrűségfüggvényű X és Y folytonos valószínűségi változók feltételes valószínűsége

.

Ha , akkor értelmezhető X feltételes sűrűségfüggvénye egy adott -ra:

.

X sűrűségfüggvénye is meghatározható:

.

A teljes valószínűség tételével az marginális sűrűségfüggvény Y-tól függetlenül is meghatározható, ha y szerint integráljuk az függvényt.

Ügyelni kell arra, hogy a sűrűségfüggvény nem egyértelmű. , , és sűrűségfüggvényének megfelel minden olyan mérhető függvény, ami , és -re a megfelelő valószínűségeket adja. Az függvénynek az

összefüggésnek kell eleget tennie.

Függetlenség[forrásszöveg szerkesztése]

Két esemény együttes bekövetkeztét az események szorzatának, szorzateseménynek nevezzük. Két esemény, A és B akkor és csak akkor független, ha szorzateseményük valószínűsége megegyezik valószínűségük szorzatával:

Ekkor, ha A és B is pozitív valószínűségű, akkor az egyik feltéve a másik feltételes valószínűségek megegyeznek a feltétel nélküliekkel:

és

Kizáró események[forrásszöveg szerkesztése]

Két esemény kizárja egymást, ha nem következhetnek be egyszerre, Például ilyen egy esemény és komplementere, vagy hogy a kockával hatost, vagy egyest dobunk-e. Két esemény akkor és csak akkor lehet kizáró is és független is, ha egyik az üres, másik ennek komplementere, a teljes esemény.

Mivel üres esemény valószínűsége nulla, ezért . Így, ha B valószínűsége pozitív, akkor .

Források[forrásszöveg szerkesztése]

  • Denkinger Géza: Valószínűségszámítás
  • Hans-Peter Beck-Bernholdt, Hans-Hermann Dubben: A tojást rakó kutya