Bayes-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Bayes-tétel a valószínűségszámításban egy feltételes valószínűség és a fordítottja között állít fel kapcsolatot. A tétel Thomas Bayes brit matematikustól származik; nagy jelentősége van a valószínűségszámítás interpretációiban.

A tétel legegyszerűbb formájában azt állítja, hogy ha ismert az A és B események valószínűsége, és a P(B|A) feltételes valószínűség, akkor

P(A|B) = \frac{P(B | A)\, P(A)}{P(B)}\,\!

P(A)-t az A esemény a priori, P(A|B)-t az a posteriori valószínűségének is nevezik; a szokásos értelmezésben A valamiféle hipotézis, B egy megfigyelhető esemény, és tétel azt adja meg, hogyan erősíti vagy gyengíti az esemény megfigyelése a hipotézis helyességébe vetett hitünket.

A tétel hasonló formában általánosítható sűrűségfüggvényekre és valószínűségi mértékekre is.

Ha A_i (i \in I) egy teljes eseményrendszer, akkor

P(B) = {\sum_i P(B \cap A_i)} = {\sum_i P(B|A_i) P(A_i)} \!

amit felhasználva adódik a Bayes-tétel teljes eseményrendszerekre alkalmazható alakja:

P(A_i|B) = \frac{P(B | A_i)\, P(A_i)}{P(B)} = \frac{P(B | A_i)\, P(A_i)}{\sum_j P(B|A_j)\,P(A_j)} \!

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel közvetlenül levezethető a feltételes valószínűség definíciójából:

P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

alapján

P(A|B)\, P(B) = P(A \cap B) = P(B|A)\, P(A) \!

amiből P(B)-vel leosztva adódik a tétel.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Orvosi vizsgálatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tegyük fel, hogy egy adott fertőzés meglétét vizsgáló teszt 99% eséllyel ismeri fel a kórokozót a beteg emberben, és 1%-kal az egészségesben (vagyis mind beteg, mind egészséges emberre 99% eséllyel helyes eredményt ad). Mennyire megbízható ez a teszt egy olyan betegség vizsgálatára, amely átlagosan ezerből egy embert betegít meg?

Mivel átlagosan minden ezredik ember betegedik meg, annak az a priori valószínűsége, hogy egy véletlenül választott személy beteg, P(B) = 0.001, annak pedig, hogy egészséges, P(E) = 0.999. Mivel a teszt 99% eséllyel helyes, a pozitív teszteredmény esélye beteg alanyt feltételezve P(+|B) = 0.99, egészséges alanyt feltételezve P(+|E) = 0.01. A Bayes-tétel teljes eseményrendszerekre vonatkozó alakját felírva (E és B egy teljes eseményrendszert alkot):

P(B|+) = \frac{P(+ | B) P(B)}{P(+ | B) P(B) + P(+ | E) P(E)} = \frac{0.99 \times 0.001}{0.99 \times 0.001 + 0.01 \times 0.999} \approx 0.09

vagyis azt a meglepő eredményt kapjuk, hogy a teszt 99%-os hatékonysága ellenére az általa betegnek jelzett emberek valójában csak mintegy egy a tízhez eséllyel betegek.

Monty Hall-paradoxon[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy showműsorban három ajtó közül kell választanunk, amelyek egyike mögött a nyeremény van. Miután választottunk, a műsorvezető kinyitja a másik két ajtó egyikét (de sosem azt, amelyik mögött a díj van). Melyik fennmaradó ajtót érdemes választanunk?

A feladatot azért nevezik paradoxonnak, mert a legtöbb ember úgy érzi, hogy bárhogy is választunk, 50% az esélyünk a sikerre (hiszen semmi mást nem tudunk, mint hogy a díj nem egy bizonyos ajtó mögött van). A Bayes-tétellel könnyen megmutatható, hogy ez nem igaz.

Tegyük fel, hogy az első ajtót választottuk, és a játékvezető a harmadikat nyitotta ki. Jelölje rendre A_1, A_2, A_3 azt, hogy a díj az első, második illetve harmadik ajtó mögött van, B pedig azt, hogy a játékvezető a harmadik ajtót nyitja ki. Amíg nem tudjuk, melyik ajtót nyitja ki, a díj helyére vonatkozó a priori valószínűségek P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = 1/3. A játékvezető sosem nyitja ki azt az ajtót, ami mögött a díj van (P(B|A_2) = 1, P(B|A_3) = 0), és ha két lehetősége is van, véletlenszerűen választ (P(B|A_1) = 1/2). Mivel nem tudjuk, hol a díj, egyformán valószínű számunkra, hogy a játékvezető a második vagy a harmadik ajtót nyitja ki (P(B) = 1/2). Bayes képletét alkalmazva

P(A_1|B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{P(B)} = \frac{\frac 1 2 \cdot \frac 1 3}{\frac 1 2} = \tfrac 1 3
P(A_2|B) = \frac{P(B | A_2) P(A_2)}{P(B)} = \frac{1 \cdot \frac 1 3}{\frac 1 2} = \tfrac 2 3
P(A_3|B) = \frac{P(B | A_3) P(A_3)}{P(B)} = \frac{0 \cdot \frac 1 3}{\frac 1 2} = 0

vagyis kétszer akkora esélyünk van, ha átváltunk a másik csukott ajtóra.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Denkinger Géza: Valószínűségszámítás
  • Hans-Peter Beck-Bernholdt, Hans-Hermann Dubben: A tojást rakó kutya