Feltételes várható érték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

Az valószínűségi változó várható értékét akarjuk kiszámolni, amennyiben tudjuk, hogy egy esemény bekövetkezik.

Legyen valószínűségi mező, valószínűségi változó és esemény, ha , akkor .

A definíció értelmezése a feltételes valószínűség alapján: , ahol a feltételes valószínűség definíciója szerint , a várható értékben lévő valószínűségre alkalmazva , tehát ez a valószínűség csak akkor nem 0, ha . Ezért csak az eseményen integrálunk, viszont esetén és a mérték szerinti integrál definíciója szerint . Ezt alkalmazva .

A feltételes várható érték tulajdonságai: lineáris: ha , akkor .

Az valószínűségi változó várható értékét akarjuk kiszámolni, amennyiben tudjuk, hogy egy -algebrában lévő események bekövetkeznek.

Legyen valószínűségi mező, valószínűségi változó és -algebra, ha ekkor létezik olyan valószínűségi változó, amely mérhető és minden esemény esetén .