Kezdeti σ-algebra

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A kezdeti σ-algebra a matematikában a mértékelmélet egy fogalma. Arra használják, hogy σ-algebrát hozzanak létre olyan tereken, amelyeken eredetileg nem volt struktúra. Speciális esetei a nyom-σ-algebra és a szorzat-σ-algebra. Szorosan összetartozik a kezdeti topológiával. Ez a legnagyobb σ-algebra, ahol függvények egy halmaza mérhető. Nevezik úgy is, mint függvények által generált σ-algebra, így a valószínűségi változók által generált σ-algebrák is kezdeti σ-algebrák. A generált algebra megnevezés nem egyértelmű, mivel halmazrendszerekkel is generálható σ-algebra.

Definíció[szerkesztés]

Adva legyenek az leképezések, és mértékterek egy családja egy nemüres indexhalmazzal. Ekkor az

σ-algebra -n az leképezések kezdeti σ-algebrája, vagy az által generált σ-algebra.

Példák[szerkesztés]

  • Legyen leképezés, ahol mértéktér, ekkor σ-algebra, és . Ha például konstans függvény, akkor az triviális σ-algebra. Az részhalmaz indikátorfüggvénye esetén .
  • és mértéktér, ahol a természetes beágyazás, akkor a kezdeti σ-algebra éppen a nyom σ-Algebra: .
  • az halmazok Descartes-szorzata egy nemüres indexhalmazzal és mértéktér. Legyenek az leképezések vetületek az -edik komponensre, ekkor a vetületek kezdeti σ-algebrája éppen a szorzat σ-algebrája :
.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • A kezdeti σ-algebra definíció szerint a legkisebb σ-algebra -n, amire az függvények mérhetők.
  • Ha az halmazok generátorai, akkor az generátora.

Alkalmazása[szerkesztés]

Kezdeti σ-algebrákat használnak például a valószínűségszámításban a valószínűségi változók függetlenségének definiálására. Két valószínűségi változó független, ha kezdeti σ-algebráik független halmazrendszerek.

Forrás[szerkesztés]

  • Jürgen Elstrodt. Maß- und Integrationstheorie, 6., javított, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2009). ISBN 978-3-540-89727-9 

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Initial-σ-Algebra című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.