Ciolkovszkij-egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Ciolkovszkij-egyenlet az idealizált rakéta mozgását írja le. Nevét Konsztantyin Eduardovics Ciolkovszkij orosz kutatóról kapta, aki munkássága során sokat foglalkozott az űrutazással, és ő alapozta meg tudományosan a többlépcsős rakéták elméletét is.

Ciolkovszkij rakéta-egyenlete idealizált gravitáció és légellenállás nélküli (vákuum) esetre:

Ahol

a rakéta sebessége a t időpillanatban,
a rakétát elhagyó gázsugár sebessége a rakétához képest (jellemző érték kémiai hajtóanyag esetén: 4,5 km/s),
a rakéta induló tömege és
a rakéta tömege az indulástól számított t idő múlva.

Az egyenlet levezetése[szerkesztés]

Jelöljük a rakétából kiáramló gázsugár a rakétához képest állandó sebességét vg-vel, az inerciarendszerhez képesti pillanatnyi sebességét pedig vgi-vel, az indulástól számított t idő elteltével a rakéta tömegét m-el, t + dt időpillantban a rakéta tömege pedig legyen m - dm. A rakéta a t-ik időpillanatban mért P1 impulzusára az alábbi összefüggés írható:

A t + dt időpontban a P2 impulzusa pedig így írható:

A két impulzus különbsége, ha a másodrendűen kicsi dm.dvgi tagot elhanyagoljuk:

,

azonban, mivel a gázsugár relatív sebessége a rakétához képest

,

és mivel a rakétára semmiféle külső erő nem hat, a két impulzus különbsége nulla, ezért írhatjuk:

,

A rakéta pillanatnyi m tömegével elosztva mindkét oldalt:

,

a rakétamozgás differenciálegyenletéhez jutunk, aminek megoldása egyszerűen integrálással történik:

és innen a rakéta sebessége:

Forrás[szerkesztés]