Tetráció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Az holomorf tetráció a komplex síkon
A végtelen hatványtorony konvergál minden -re

A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatványozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hyper operátor a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják.

A tetráció a hatványozást követi az alábbi módon:

0. szukcesszió:

  1. összeadás
  2. szorzás
  3. hatványozás
  4. tetráció

ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg.

A szorzás () másképpen B darab A összeadva és következésképpen a hatványozás () pedig B darab A összeszorozva. Tehetünk egy további lépést, és a tetráció ()így B darab A hatványozása.

x↑↑n, ahol n = 2, 3, 4, 5, 6 és 7
Kinagyítva az értékekre, ahol n = 1, 2, 3..., szemlélteti a végtelen hatványtorony konvergenciáját

Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legbelső szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Másképpen:

nem ugyanaz, mint

(Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)

Jelölés[szerkesztés]

A fenti első eset (a tetráció) általánosításához új jelölésre van szükség (lásd lentebb), viszont a második esetet írhatjuk : -nak is.

Így az általános forma még mindig hagyományos hatványjelölést használ.

A jelölések, amikkel a tetráció leírható (némelyik magasabb szintű iterációt is megenged), például a következők:

  • Standard jelölés: – először Maurer használta; Rudy Rucker A Végtelen és az elme (Infinity and the Mind) című könyve ezt a jelölést népszerűsítette.
  • Knuth-nyilas jelölés: – itt több nyilat is alkalmazhatunk vagy indexelt nyilat
  • Conway-nyílláncolat: – a kettes szám növelésével kiterjeszthető (ez azonos a fenti kiterjesztésekkel), vagy erőteljesebben a láncolat meghosszabbításával.
  • hyper4 jelölés: – a 4-es szám növelésével terjeszthető ki, az adja a hiper operátorok családját.

Az Ackermann-függvényt így jelölhetjük: , azaz

A hatványjel (^) is ugyanígy használható, így a tetráció ASCII jelölése ^^, például a^^b.

A tetrációra igazak a következők:

  • monoton növekszik
  • folytonos

Példák[szerkesztés]

(A tizedesvesszőt tartalmazó értékek közelítőek).

n = n↑↑1 n↑↑2 n↑↑3 n↑↑4
1 1 1 1
2 4 16 65536
3 27 7,63×1012
4 256 1,34×10154
5 3125 1,91×102184
6 46 656 2,70×1036 305
7 823 543 3,76×10695 974
8 16 777 216 6,01×1015 151 335
9 387 420 489 4,28×10369 693 099
10 10 000 000 000 1010 000 000 000

A függvény gyorsabban növekszik a szuperhatványfüggvényeknél is, ha például = 10:

  • (az egy googol)
  • (ez egy googolplex)
  • A függvény -t -nál lépi át:

Kiterjesztés a második operandus kis értékeire[szerkesztés]

A kapcsolat felhasználásával (ami következik a tetráció definíciójából), kikövetkeztethetjük vagy definiálhatjuk értékeit, ha .

Ez megerősíti az intuitív definíciót, miszerint egyszerűen . Ilyen minta alapján azonban további iterációval nem lehet további értékeket kikövetkeztetni, mivel nincs értelmezve.

Hasonlóan, mivel sem értelmezett (),a fenti következtetés nem működik, ha = 1. Ezért nek is értelmetlennek kell maradnia. (A kifejezés nyugodtan maradhat 1.)

Néha a t is értelmetlennek veszik. Ebben az esetben értékeit sem definiálhatjuk közvetlenül. Azonban meghatározott és létezik:

Ez a határérték marad negatív -eknél is. eszerint határozható meg, és ez összefér azzal, ha (mivel a 0 páros).

A tetráció a -1-nél kisebb kitevőkre nem terjeszthető ki rekurzióval, mivel

Kiterjesztés valós kitevőkre[szerkesztés]

Jelenleg nincs általánosan elfogadott módszer a nem egész valós vagy kitevőkre való kiterjesztésre. A továbbiakban néhány megközelítést mutatunk be.

Általában egy szuperexponenciális függvényt keresünk, ahol x valós, és x > −2, továbbá

Ezekhez még egy követelményt hozzá szoktak tenni:

  • mindkét változójában folytonos, ha
  • differenciálható x-ben egyszer, kétszer, vagy végtelenszer
  • reguláris, és
minden -ra.

A negyedik követelmény megközelítésenként változik. A két fő megközelítés egyik a regularitást követeli meg, a másik a differenciálhatóságot. A két megközelítés annyira különböző módszereket használ, hogy azt sem tudjuk, hogy az eredmények megegyeznek-e.

Ha valahogy definiáljuk az függvényt egy 1 hosszúságú intervallumon, akkor a rekurzív összefüggés szerint minden x > −2 számra definiálva lesz.

Lineáris approximáció[szerkesztés]

lineáris approximációval

Az alábbi approximáció megfelel a folytonossági követelménynek, és approximál egy differenciálható megoldást:

így:

Approximáció Tartomány

és így tovább. Megjegyzendő, hogy csak szakasznonként differenciálható, mivel x egész értékeinél a derivált megszorzódik -val.

Példák[szerkesztés]

Hooshmand cikkének[1] fő tétele: legyen ; ha folytonos, és megfelel ezeknek a feltételeknek:

  • differenciálható
  • nemcsökkenő vagy nemnövekvő

akkor -re teljesül, hogy:

ahol x törtrésze, és az -iteráltja.

A bizonyítás azon alapul, hogy a 2.-4. feltételekből következik, hogy a függvény lineáris a [−1, 0] zárt intervallumon.

Az természetes alapú tetráció lineáris approximációja folytonosan differenciálható, de második deriváltja nem létezik az egész helyeken. Hooshmand bizonyított egy másik egyértelműségi tételt is, ami kimondja, hogy:

Ha folytonos függvény, ami teljesíti, hogy:

  • konvex

akkor , ahol Hooshmand jelölése a természetes alapú tetrációfüggvény lineáris közelítésére.

Ez a tétel az előbbihez hasonlóan bizonyítható; a rekurzió biztosítja, hogy és a konvexség miatt lineáris (−1, 0)-n.

Így a természetes alapú tetráció lineáris approximációja az egyértelmű megoldása, és , ami konvex -ben. Az összes többi differenciálható megoldásnak inflexiós pontja van (−1, 0)-ban.

Magasabb rendű approximációk[szerkesztés]

Egy kvadratikus approximáció:

ami differenciálható x-ben minden -ra, de csak egyszer. Ha , akkor ez megegyezik a lineáris approximációval.

Mivel a toronyhatvány fentről lefelé számítandó ki, ezért nem teljesül a hatványozáshoz hasonló összefüggés:

.

Egy köbös approximációt és további approximációs eljárásokat találni ebben a hivatkozásban:[2]

Komplex számok tetrációja[szerkesztés]

Tetráció megjelenítése periódus alapján
Tetráció megjelenítése szökés alapján

Mivel a komplex számokat is lehet hatványozni, a tetráció alkalmazható a formájú számokra, ahol   ‒1 négyzetgyöke. Például ha , akkor esetén a tetrációt úgy érjük el, ha alkalmazzuk a természetes logaritmussal való felírást és észerevesszük a kapcsolatot:

Ebből rekurzívan definiálhatjuk -t, bármilyen esetén:

Innen kaphatjuk a következő közelítő értékeket, ahol a rendes hatványozás (tehát ).

A kapcsolat megfejtésével a várt -t és -t kapjuk, végtelen eredménnyel a képzetes tengelyen. A komplex számsíkon ábrázolva a sorozat spirálisan tart a határértékhez, amit úgy értelmezhetünk, mint azt a helyet, ahol végtelen.

Az ilyen tetrációs sorozatokat már Euler ideje óta tanulmányozzák, de kaotikus viselkedésük miatt nehezen érthetők. A legtöbb publikált kutatás a hatványtorony-függvény konvergensségével foglalkozik. A mai kutatás nagy segítségei a gyors számítógépek fraktál- és matematikai szoftverei. A tetrációról való tudásunk nagy része a komplex dinamika általános eredményeiből és az exponenciális leképezés kutatásából származik.

Komplex kitevők[szerkesztés]

Az analitikus tetráció to a komplex számsíkon. Vastagított vonalakkal kiemelve az és az szintek

Egy sejtés szerint[3] az F(z+1)=exp(F(z)) egyenletnek van egy egyértelmű F függvény megoldása, amire még az is teljesül, hogy F(0)=1, és F(z) megközelíti a logaritmus fixpontjait, ha helye tart ±i∞-hez, és F holomorf a teljes komplex síkon, kivéve a z≤−2 félegyenest. Ennek a függvénynek dupla pontosságú komplex (double precision) közelítése elérhető online.[4] A valós tengelyen szingularitásai vannak a pontokban.

A holomorfia kikötése biztosítja az egyértelműséget, mivel sok függvény konstruálható, amire:

ahol az és valós sorozatok elég gyorsan csökkennek ahhoz, hogy biztosítsák a konvergenciát legalább kis értékeire.

Ez az függvény a tetrációhoz hasonlóan viselkedik: S(z+1)=exp(S(z)), S(0)=1, és jól választott és valós sorozatok esetén analitikus lesz a valós tengely pozitív félegyenesének környezetében. Azonban, ha {α} vagy {β} nem az azonosan nulla sorozat, az függvénynek még több szingularitása és szakadási egyenese keletkezik, mivel a szinusz- és a koszinuszfüggvény abszolút értéke exponenciálisan nő a valós tengelytől távolodva. Minél kisebbek az {α} és a {β} együtthatók, annál távolabb lesznek ezek a szingularitások a valós tengelytől. A valós analitikus tetráció nem egyértelmű, ezért kell a komplex síkra kiterjeszteni.

Nyitott kérdések[szerkesztés]

  • és is 1, tehát a megoldás.
  • Jelenleg (2016) még az sem ismert, hogy nq lehet-e egész bizonyos pozitív egész n-re és alkalmasan választott q pozitív nem egész racionális számra.[5] Még azt sem tudjuk, hogy 4x = 2 -ben az x pozitív szuperlogaritmus racionális szám-e.

Inverz[szerkesztés]

Mivel a tetráció művelete nem kommutatív, ezért két inverz művelete van. Az alap keresésére a szupergyök- vagy hipergyökfüggvény szolgál, a kitevőt szuper- vagy hiperlogaritmus adja meg.

Szupergyök[szerkesztés]

A szupergyök ismert kitevő esetén az alapot keresi, azaz ha , akkor y az x egy n-edik szupergyöke.

Példák:

vagyis 65 536 negyedik szupergyöke 2, és

így 3 a 7 625 597 484 987 harmadik szupergyöke, vagy szuperköbgyöke.

Szupernégyzetgyök[szerkesztés]

Az y = szupernégyzetgyök grafikonja

A második szupergyök, négyzetszupergyök, vagy szupernégyzetgyök jelölései és . Az inverze, és reprezentálható a Lambert W függvénnyel:[6]

A szupernégyzetgyökben a gyökvonás és a logaritmus szerepe szimmetrikus; a következő egyenlet csak akkor igaz, ha :

A négyzetgyökhöz hasonlóan a szupernégyzetgyök sem egyértelmű. Meghatározása nem olyan egyszerű, mint a négyzetgyöké. Általában, ha , akkor x-nek két szupernégyzetgyöke van 0 és 1 között; ha , akkor szupernégyzetgyöke egyértelmű, és szintén nagyobb egynél. Hogyha pedig , akkor nincs valós hipernégyzetgyöke, de a fenti képlet megszámlálható végtelen szupernégyzetgyököt ad, ha x különbözik 1-től..[6] A függvényt haszbnálták adatklaszterek méretének kiszámítására.[7]

Más szupergyökök[szerkesztés]

Az n > 2 egészekre nx értelmes és növekvő függvény minden x ≥ 1-re, n1 = 1, így x-nek létezik n-edik szupergyöke. Azonban a fenti lineáris approximáció szerint , ha −1 < y ≤ 0, így ebben a tartományban az megoldhatatlan.

A szuperköbgyök az kifejezésben keresi az y-t. Jelölése: . A negyedik szupergyök , és általában, az n-edik szupergyök . Ahogy a szupernégyzetgyöknél láttuk, ez nem biztos, hogy egyértelmű. Például, ha n páratlan, akkor egy, ha n páros, akkor két valós szupergyök lehet.

Mivel bizonyos számok esetén a végtelen hatványtornyoknak is véges értéket lehet tulajdonítani, ezért a megfelelő 1/exe értékek esetén végtelenedik szupergyök is kereshető. Jegyezzük meg, hogy -ból következik, hogy , így . Emiatt, ha létezik, akkor , így ez elemi függvény. Például .

A Gelfond–Schneider-tételből adódik, hogy egy pozitív egész szupernégyzetgyöke vagy egész, vagy transzcendens, és szuperköbgyöke vagy egész, vagy irracionális.[8] But it is still an open question whether irrational super-roots are transcendental in the latter case.

Szuperlogaritmus[szerkesztés]

A minden valós számra, így a negatívakra is értelmezett, ahol a > 1.

A függvény eleget tesz a következőknek:

Példák:

Végtelen hatványtornyok[szerkesztés]

A függvény a komplex síkon, a végtelen valós hatványtornyok értéke feketével kiemelve

2-höz tart, így egyenlőnek tekinthetjük azzal. A 2-höz tartás úgy látható be, ha kiértékelünk egy véges tornyot:

Általában az végtelen hatványtorony esetén konvergens. Tetszőleges valós -re, ha , legyen  ; ekkor a határérték . Ha , akkor nincs konvergencia ( maximuma ).

Ezt komplex számokra is kiterjeszthetjük a következő definícióval:

ahol Lambert W-függvényét jelöli.

Lásd még[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Tetration című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés]