Tetráció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az {}^{z}e holomorf tetráció a komplex síkon
A végtelen \textstyle \lim_{n\rightarrow \infty} {}^nxhatványtorony konvergál minden \textstyle (e^{-1})^e \le x \le e^{e^{-1}}) -re

A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatványozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hyper operátor a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják.

A tetráció a hatványozást követi az alábbi módon:

0. szuccesszió: \acute{a}=a+1

  1. összeadás
    a+b\,
  2. szorzás
    {{a \times b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a + \cdots + a}} \atop b}
  3. hatványozás
    {{a^b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop b}
  4. tetráció
    {\ ^{b}a = \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b}

ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg.

A szorzás (a \times b) másképpen B darab A összeadva és következésképpen a hatványozás (a^b) pedig B darab A összeszorozva. Tehetünk egy további lépést, és a tetráció (a \uparrow\uparrow b)így B darab A hatványozása.

x↑↑n, ahol n = 2, 3, 4, 5, 6 és 7
Kinagyítva az {}^{n}x értékekre, ahol n = 1, 2, 3 ..., szemlélteti a végtelen hatványtorony konvergenciáját

Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legalsó szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Másképpen:

\,\!2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65536
\,\!2^{2^{2^2}} nem ugyanaz, mint \,\! \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 256

(Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)

Jelölés[szerkesztés]

A fenti első eset (a tetráció) általánosításához új jelölésre van szükség (lásd lentebb), viszont a második esetet írhatjuk :\,\! \left(\left(2^2\right)^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2^{2^3} -nak is.

Így az általános forma még mindig hagyományos hatványjelölést használ.

A jelölések, amikkel a tetráció leírható (némelyik magasabb szintű iterációt is megenged), például a következők:

  • Standard jelölés: {}^ba – először Maurer használta; Rudy Rucker A Végtelen és az elme (Infinity and the Mind) című könyve ezt a jelölést népszerűsítette.
  • Knuth-nyilas jelölés: a \uparrow\uparrow b – itt több nyilat is alkalmazhatunk vagy indexelt nyilat
  • Conway-nyílláncolat: a \rightarrow b \rightarrow 2 – a kettes szám növelésével kiterjeszthető (ez azonos a fenti kiterjesztésekkel), vagy erőteljesebben a láncolat meghosszabbításával.
  • hyper4 jelölés: a^{(4)}b = \operatorname{hyper4}(a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) – a 4-es szám növelésével terjeszthető ki, az adja a hiper operátorok családját.

Az Ackermann-függvényt így jelölhetjük: 2 \uparrow\uparrow b = \operatorname{A}(4, b - 3) + 3, azaz \operatorname{A}(4, n) = 2 \uparrow\uparrow (n+3) - 3

A hatványjel (^) is ugyanígy használható, így a tetráció ASCII jelölése ^^, például a^^b.

A tetrációra igazak a következők:

Példák[szerkesztés]

(A tizedesvesszőt tartalmazó értékek közelítőek).

n = n↑↑1 n↑↑2 n↑↑3 n↑↑4
1 1 1 1
2 4 16 65536
3 27 7,63×1012 10^{3,6410 \times 10^{12}}
4 256 1,34×10154 10^{8,07 \times 10^{153}}
5 3125 1,91×102184 10^{1,34 \times 10^{2184}}
6 46 656 2,70×1036 305 10^{2,07 \times 10^{36 305}}
7 823 543 3,76×10695 974 10^{3,18 \times 10^{695 974}}
8 16 777 216 6,01×1015 151 335 10^{5,43 \times 10^{15 151 335}}
9 387 420 489 4,28×10369 693 099 10^{4,09 \times 10^{369 693 009}}
10 10 000 000 000 1010 000 000 000 10^{10^{10^{10}}}

A függvény gyorsabban növekszik a szuperhatványfüggvényeknél is, ha például a = 10:

Kiterjesztés a második operandus kis értékeire[szerkesztés]

A n \uparrow\uparrow k = \log_n \left(n \uparrow\uparrow (k+1)\right) kapcsolat felhasználásával (ami következik a tetráció definíciójából), kikövetkeztethetjük vagy definiálhatjuk n \uparrow\uparrow k értékeit, ha k \in \{-1, 0, 1\}.


\begin{matrix}
  n \uparrow\uparrow 1
    & = &
  \log_n \left(n \uparrow\uparrow 2\right)
    & = &
  \log_{n} \left(n^n\right)
    & = &
  n \log_{n} n
    & = &
  n
\\
  n \uparrow\uparrow 0
    & = &
  \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 1\right)
    & = &
  \log_{n} n
    & & & = &
  1
\\
  n \uparrow\uparrow -1
    & = &
  \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 0\right)
    & = &
  \log_{n} 1
    & & & = &
  0
\end{matrix}

Ez megerősíti az intuitív definíciót, miszerint n \uparrow\uparrow 1 egyszerűen n. Ilyen minta alapján azonban további iterációval nem lehet további értékeket kikövetkeztetni, mivel \log_n 0 nincs értelmezve.

Hasonlóan, mivel \log_{1} 1 sem értelmezett (\log_{1} 1 = \begin{matrix}\frac{\log_n 1}{\log_n 1} = \frac{0}{0}\end{matrix}),a fenti következtetés nem működik, ha n = 1. Ezért 1 \uparrow\uparrow {-1} nek is értelmetlennek kell maradnia. (A 1 \uparrow\uparrow {0} kifejezés nyugodtan maradhat 1.)

Néha a 0^0 t is értelmetlennek veszik. Ebben az esetben 0\uparrow\uparrow{k} értékeit sem definiálhatjuk közvetlenül. Azonban \lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow{k} meghatározott és létezik:

\lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow k = \begin{cases} 1, & k=2m \\ 0, & k=2m+1 \end{cases}

Ez a határérték marad negatív n -eknél is. 0 \uparrow\uparrow {k} eszerint határozható meg, és ez összefér azzal, ha 0^0 = 1 (mivel a 0 páros).

A tetráció a -1-nél kisebb kitevőkre nem terjeszthető ki rekurzióval, mivel

{\textstyle  {}^{-2}a=\log_a{}^{-1}a=\log_a0=-\infty }

Kiterjesztés valós kitevőkre[szerkesztés]

Jelenleg nincs általánosan elfogadott módszer a nem egész valós vagy kitevőkre való kiterjesztésre. A továbbiakban néhány megközelítést mutatunk be.

Általában egy szuperexponenciális \,f(x) = {}^{x}a függvényt keresünk, ahol x valós, és x > −2, továbbá

  • \,{}^{(-1)}a = 0
  • \,{}^{0}a = 1
  • \,{}^{x}a = a^{\left({}^{(x-1)}a\right)}\text{ minden }x>-1 \text{-re }.

Ezekhez még egy követelményt hozzá szoktak tenni:

\left( \frac{d^2}{dx^2}f(x) > 0\right) minden  x > 0 -ra.

A negyedik követelmény megközelítésenként változik. A két fő megközelítés egyik a regularitást követeli meg, a másik a differenciálhatóságot. A két megközelítés annyira különböző módszereket használ, hogy azt sem tudjuk, hogy az eredmények megegyeznek-e.

Ha valahogy definiáljuk az \,{}^{x}a függvényt egy 1 hosszúságú intervallumon, akkor a rekurzív összefüggés szerint minden x > −2 számra definiálva lesz.

Lineáris approximáció[szerkesztés]

\,{}^{x}e lineáris approximációval

Az alábbi approximáció megfelel a folytonossági követelménynek, és approximál egy differenciálható megoldást:

{}^{x}a \approx \begin{cases}
\log_a(^{x+1}a) & x \le -1 \\
1 + x & -1 < x \le 0 \\
a^{\left(^{x-1}a\right)} & 0 < x
\end{cases}

így:

Approximáció Tartomány
\,{}^{x}a \approx x+1 -1<x<0
\,{}^{x}a \approx a^x 0<x<1
\,{}^{x}a \approx a^{a^{(x-1)}} 1<x<2

és így tovább. Megjegyzendő, hogy csak szakasznonként differenciálható, mivel x egész értékeinél a derivált megszorzódik \ln{a}-val.

Példák[szerkesztés]

\begin{align}
 {}^{\frac{1}{2}\pi}e &\approx 5.868...,\\
 {}^{-4.3}0.5 &\approx 4.03335...
\end{align}

Hooshmand cikkének[1] fő tétele: legyen  0 <a \neq 1; ha f:(-2,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} folytonos, és megfelel ezeknek a feltételeknek:

  •  f(x)=a^{f(x-1)} \; \; \text{for all} \; \; x>-1, \; f(0)=1,
  • f differenciálható (-1, 0)-ban,
  • f^\prime nemcsökkenő vagy nemnövekvő  (-1,0)-ban,
  • f^\prime (0^+) = (\ln a) f^\prime (0^-) \text{ vagy } f^\prime (-1^+) = f^\prime (0^-).

akkor f-re teljesül, hogy:

f(x)=\exp^{[x]}_a (a^{x})=\exp^{[x+1]}_a(x) \quad \text{ minden } \; \; x > -2 \text{-re },

ahol  (x)=x-[x] x törtrésze, és  \exp^{[x]}_a az  \exp_a  [x] -iteráltja.

A bizonyítás azon alapul, hogy a 2.-4. feltételekből következik, hogy a függvény lineáris a [−1, 0] zárt intervallumon.

Az {}^xe természetes alapú tetráció lineáris approximációja folytonosan differenciálható, de második deriváltja nem létezik az egész helyeken. Hooshmand bizonyított egy másik egyértelműségi tételt is, ami kimondja, hogy:

Ha  f: (-2, +\infty)\rightarrow \mathbb{R} folytonos függvény, ami teljesíti, hogy:

  •  f(x)=e^{f(x-1)} \; \; \text{ minden } \; \; x > -1\text{-re}   \; f(0)=1,
  • f konvex (-1,0)\text{-ben},
  • f^\prime (0^-)\leq f^\prime (0^+).

akkor f=\text{uxp}, ahol f=\text{uxp} Hooshmand jelölése a természetes alapú tetrációfüggvény lineáris közelítésére.

Ez a tétel az előbbihez hasonlóan bizonyítható; a rekurzió biztosítja, hogy f^\prime (-1^+) = f^\prime (0^+), és a konvexség miatt f lineáris (−1, 0)-n.

Így a természetes alapú tetráció lineáris approximációja az  f(x)=e^{f(x-1)} \; \; (x>-1) egyértelmű megoldása, és f(0)=1, ami konvex (-1,+\infty)-ben. Az összes többi differenciálható megoldásnak inflexiós pontja van (−1, 0)-ban.

Magasabb rendű approximációk[szerkesztés]

Egy kvadratikus approximáció:

{}^{x}a \approx \begin{cases}
\log_a({}^{x+1}a) & x \le -1 \\
1 + \frac{2\ln(a)}{1 \;+\; \ln(a)}x - \frac{1 \;-\; \ln(a)}{1 \;+\; \ln(a)}x^2 & -1 < x \le 0 \\
a^{\left({}^{x-1}a\right)} & 0 < x
\end{cases}

ami differenciálható x-ben minden x > 0-ra, de csak egyszer. Ha a = e, akkor ez megegyezik a lineáris approximációval.

Mivel a toronyhatvány fentről lefelé számítandó ki, ezért nem teljesül a hatványozáshoz hasonló összefüggés:

{}^{n}({}^{1/n}a)=\underbrace{({}^{1/n}a)^{({}^{1/n}a)^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{({}^{1/n}a)}}}}}}}_n\neq a.

Egy köbös approximációt és további approximációs eljárásokat találni ebben a hivatkozásban:[2]

Komplex számok tetrációja[szerkesztés]

Tetráció megjelenítése periódus alapján
Tetráció megjelenítése szökés alapján

Mivel a komplex számokat is lehet hatványozni, a tetráció alkalmazható a a + bi formájú számokra, ahol i   ‒1 négyzetgyöke. Például ha n=i, akkor n \uparrow\uparrow k esetén a tetrációt úgy érjük el, ha alkalmazzuk a természetes logaritmussal való felírást és észerevesszük a kapcsolatot:

i^{a+bi} = e^{{i\pi \over 2} (a+bi)} = e^{-{b\pi \over 2}} \left(\cos{a\pi \over 2} + i \sin{a\pi \over 2}\right)

Ebből rekurzívan definiálhatjuk i \uparrow\uparrow (k+1) = a'+b'i -t, bármilyen i \uparrow\uparrow k = a+bi esetén:

a' = e^{-{b\pi \over 2}} \cos{a\pi \over 2}
b' = e^{-{b\pi \over 2}} \sin{a\pi \over 2}

Innen kaphatjuk a következő közelítő értékeket, ahol i \uparrow n a rendes hatványozás (tehát i ^ n).

  • i \uparrow\uparrow 1 = i
  • i \uparrow\uparrow 2 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 1\right) \approx 0,2079
  • i \uparrow\uparrow 3 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 2\right) \approx 0,9472 + 0,3208i
  • i \uparrow\uparrow 4 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 3\right) \approx 0,0501 + 0,6021i
  • i \uparrow\uparrow 5 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 4\right) \approx 0,3872 + 0,0305i
  • i \uparrow\uparrow 6 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 5\right) \approx 0,7823 + 0,5446i
  • i \uparrow\uparrow 7 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 6\right) \approx 0,1426 + 0,4005i
  • i \uparrow\uparrow 8 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 7\right) \approx 0,5198 + 0,1184i
  • i \uparrow\uparrow 9 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 8\right) \approx 0,5686 + 0,6051i

A kapcsolat megfejtésével a várt i \uparrow\uparrow 0 = 1 -t és i \uparrow\uparrow -1 = 0 -t kapjuk, végtelen eredménnyel a képzetes tengelyen. A komplex számsíkon ábrázolva a sorozat spirálisan tart a 0,4383 + 0,3606i határértékhez, amit úgy értelmezhetünk, mint azt a helyet, ahol k végtelen.

Az ilyen tetrációs sorozatokat már Euler ideje óta tanulmányozzák, de kaotikus viselkedésük miatt nehezen érthetők. A legtöbb publikált kutatás a hatványtorony-függvény konvergensségével foglalkozik. A mai kutatás nagy segítségei a gyors számítógépek fraktál- és matematikai szoftverei. A tetrációról való tudásunk nagy része a komplex dinamika általános eredményeiből és az exponenciális leképezés kutatásából származik.

Komplex kitevők[szerkesztés]

Az f=F(x+{\rm i}y) analitikus tetráció to a komplex számsíkon. Vastagított vonalakkal kiemelve az |f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots és az \arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots szintek

Egy sejtés szerint[3] az F(z+1)=exp(F(z)) egyenletnek van egy egyértelmű F függvény megoldása, amire még az is teljesül, hogy F(0)=1, és F(z) megközelíti a logaritmus fixpontjait, ha helye tart ±i∞-hez, és F holomorf a teljes komplex síkon, kivéve a z≤−2 félegyenest. Ennek a függvénynek dupla pontosságú komplex (double precision) közelítése elérhető online.[4] A valós tengelyen szingularitásai vannak a z=-2,-3,-4,\ldots pontokban.

A holomorfia kikötése biztosítja az egyértelműséget, mivel sok S függvény konstruálható, amire:

S(z)=F\!\left(~z~
+\sum_{n=1}^{\infty} \sin(2\pi n z)~ \alpha_n
+\sum_{n=1}^{\infty} \Big(1-\cos(2\pi n z) \Big) ~\beta_n \right)

ahol az \alpha és \beta valós sorozatok elég gyorsan csökkennek ahhoz, hogy biztosítsák a konvergenciát legalább \Im(z) kis értékeire.

Ez az S függvény a tetrációhoz hasonlóan viselkedik: S(z+1)=exp(S(z)), S(0)=1, és jól választott \alpha és \beta valós sorozatok esetén analitikus lesz a valós tengely pozitív félegyenesének környezetében. Azonban, ha {α} vagy {β} nem az azonosan nulla sorozat, az S függvénynek még több szingularitása és szakadási egyenese keletkezik, mivel a szinusz és a koszinusz függvények abszolútértéke exponenciálisan nő a valós tengelytől távolodva. Minél kisebbek az {α} és a {β} együtthatók, annál távolabb lesznek ezek a szingularitások a valós tengelytől. A valós analitikus tetráció nem egyértelmű, ezért kell a komplex síkra kiterjeszteni.

Nyitott kérdések[szerkesztés]

  • ^0\pi és ^0e is 1, tehát n=0 a megoldás.
  • Jelenleg (2016) még az sem ismert, hogy nq lehet-e egész bizonyos pozitív egész n-re és alkalmasan választott q pozitív nem egész racionális számra.[5] Még azt sem tudjuk, hogy 4x = 2 -ben az x pozitív szuperlogaritmus racionális szám-e.

Inverz[szerkesztés]

Mivel a tetráció művelete nem kommutatív, ezért két inverz művelete van. Az alap keresésére a szupergyök- vagy hipergyökfüggvény szolgál, a kitevőt szuper- vagy hiperlogaritmus adja meg.

Szupergyök[szerkesztés]

A szupergyök ismert kitevő esetén az alapot keresi, azaz ha ^n y = x, akkor y az x egy n-edik szupergyöke.

Példák:

^4 2 = 2^{2^{2^{2}}} = 65536

vagyis 65 536 negyedik szupergyöke 2, és

^3 3 = 3^{3^{3}} = 7625597484987

így 3 a 7 625 597 484 987 harmadik szupergyöke, vagy szuperköbgyöke.

Szupernégyzetgyök[szerkesztés]

Az y = \sqrt{x}_s szupernégyzetgyök grafikonja

A második szupergyök, négyzetszupergyök, vagy szupernégyzetgyök jelölései \mathrm{ssrt}(x) és \sqrt{x}_s. Az ^2 x = x^x inverze, és reprezentálható a Lambert W függvénnyel:[6]

\mathrm{ssrt}(x)=e^{W(\mathrm{ln}(x))}=\frac{\mathrm{ln}(x)}{W(\mathrm{ln}(x))}

A szupernégyzetgyökben a gyökvonás és a logaritmus szerepe szimmetrikus; a következő egyenlet csak akkor igaz, ha y = \mathrm{ssrt}(x):

\sqrt[y]{x} = \log_y  x

A négyzetgyökhöz hasonlóan a szupernégyzetgyök sem egyértelmű. Meghatározása nem olyan egyszerű, mint a négyzetgyöké. Általában, ha e^{-1/e}<x<1, akkor x-nek két szupernégyzetgyöke van 0 és 1 között; ha x > 1, akkor szupernégyzetgyöke egyértelmű, és szintén nagyobb egynél. Hogyha pedig e^{-1/e}, akkor nincs valós hipernégyzetgyöke, de a fenti képlet megszámlálható végtelen szupernégyzetgyököt ad, ha x különbözik 1-től..[6] A függvényt haszbnálták adatklaszterek méretének kiszámítására.[7]

Más szupergyökök[szerkesztés]

Az n > 2 egészekre nx értelmes és növekvő függvény minden x ≥ 1-re, n1 = 1, így x-nek létezik \sqrt[n]{x}_s n-edik szupergyöke. Azonban a fenti lineáris approximáció szerint  ^y x = y + 1, ha −1 < y ≤ 0, így ebben a tartományban az   ^y \sqrt{y + 1}_s megoldhatatlan.

A szuperköbgyök az x = y^{y^y} kifejezésben keresi az y-t. Jelölése: \sqrt[3]{x}_s. A negyedik szupergyök \sqrt[4]{x}_s, és általában, az n-edik szupergyök \sqrt[n]{x}_s. Ahogy a szupernégyzetgyöknél láttuk, ez nem biztos, hogy egyértelmű. Például, ha n páratlan, akkor egy, ha n páros, akkor két valós szupergyök lehet.

Mivel bizonyos számok esetén a végtelen hatványtornyoknak is véges értéket lehet tulajdonítani, ezért a megfelelő 1/exe értékek esetén végtelenedik szupergyök is kereshető. Jegyezzük meg, hogy  x = {^\infty y} -ból következik, hogy  x = y^x , így  y = x^{1/x} . Emiatt, ha létezik, akkor  \sqrt[\infty]{x}_s = x^{1/x} , így ez elemi függvény. Például \sqrt[\infty]{2}_s = 2^{1/2} = \sqrt{2}.

A Gelfond–Schneider-tételből adódik, hogy egy pozitív egész szupernégyzetgyöke vagy egész, vagy transzcendens, és szuperköbgyöke vagy egész, vagy irracionális.[8] But it is still an open question whether irrational super-roots are transcendental in the latter case.

Szuperlogaritmus[szerkesztés]

A \mathrm{slog}_a minden valós számra, így a negatívakra is értelmezett, ahol a > 1.

A \mathrm{slog}_a függvény eleget tesz a következőknek:

\mathrm{slog}_a a^b = 1 + \mathrm{slog}_a b
\mathrm{slog}_a b = 1 + \mathrm{slog}_a \log_a b
\mathrm{slog}_a b > -2

Példák:

  • \mathrm{slog}_{10} -3 = -1 + \mathrm{slog}_{10} 0.001 = -1 + -0.999 = -1.999
  • \mathrm{slog}_{10} 3 = \log_{10} 3 = .477
  • \mathrm{slog}_{10} 10^{6\times 10^{23}} = 1 + \mathrm{slog}_{10} 6\times 10^{23} = 2 + \mathrm{slog}_{10} 23.778 = 3 + \mathrm{slog}_{10} 1.376 = 3 + \log_{10} 1.376 = 3.139

Végtelen hatványtornyok[szerkesztés]

A \left | \frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{-\ln{z}} \right | függvény a komplex síkon, a végtelen valós hatványtornyok értéke feketével kiemelve

\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{..}}}}}} 2-höz tart, így egyenlőnek tekinthetjük azzal. A 2-höz tartás úgy látható be, ha kiértékelünk egy véges tornyot:

\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.41}}}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.63}}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.76}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.84}} = \sqrt{2}^{1.89} = 1.93

Általában az x^{x^{x^{..}}} végtelen hatványtorony e^{-e} < x < e^{1/e} esetén konvergens. Tetszőleges valós r -re, ha 0 < r < e, legyen x = r^{1/r} ; ekkor a határérték r. Ha x > e^{1/e} , akkor nincs konvergencia (r^{1/r} maximuma e^{1/e}).

Ezt komplex számokra is kiterjeszthetjük a következő definícióval:

 z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}} = -\frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{\ln{z}}

ahol \mathrm{W}(z) Lambert W-függvényét jelöli.

Lásd még[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]


Ez a szócikk részben vagy egészben a Tetration című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

  1. M. H. Hooshmand, (2006.). „Ultra power and ultra exponential functions”. Integral Transforms and Special Functions 17 (8), 549–558. o. DOI:10.1080/10652460500422247.  
  2. Andrew Robbins. Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm.
  3. D. Kouznetsov (2009. július 1.). „Solution of F(z+1)=\exp(F(z)) in complex z-plane”. Mathematics of Computation 78 (267), 1647–1670. o. DOI:10.1090/S0025-5718-09-02188-7.  
  4. Mathematica code for evaluation and plotting of the tetration and its derivatives.
  5. Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form aa with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109.
  6. ^ a b (1996.) „On the Lambert W function” (PostScript). Advances in Computational Mathematics 5, 333. o. DOI:10.1007/BF02124750.  
  7. BOSTON UNIVERSITY COLLEGE OF ENGINEERING – EFFICIENT SELF-ORGANIZATION OF LARGE WIRELESS SENSOR NETWORKS
  8. Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form aa with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109.