Számtani-mértani közép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A matematikában két pozitív valós szám számtani-mértani közepe a következő:

Jelölje a két számot x és y! Kiszámoljuk a számtani közepüket, ezt jelölje a1. Ezután kiszámoljuk a mértani közepüket, ezt jelölje g1:

A kapott két számnak újra kiszámoljuk a számtani és a mértani közepét, és ezt iteráljuk minden an és gn párra:

Ekkor az an és a gn sorozatok ugyanahhoz a számhoz tartanak, ami x és y számtani-mértani közepe. Jelölése M(x, y), vagy agm(x, y).

Algoritmusokhoz használják, például a számtani-mértani módszerhez.

Példa[szerkesztés]

Legyen x = 24 és y = 6, keressük ezek számtani-mértani közepét. Kiszámoljuk a számtani és a mértani közepüket:

a következő lépés:

Az első öt iteráció értékei:

n an gn
0 24 6
1 15 12
2 13,5 13,416407864998738178455042…
3 13,458203932499369089227521… 13,458139030990984877207090…
4 13,458171481745176983217305… 13,458171481706053858316334…
5 13,458171481725615420766820… 13,458171481725615420766806…

Az egyezés hossza minden lépésben a duplájára nő. A számtani-mértani közép e két sorozat közös határértéke, ami megközelítően 13.4581714817256154207668131569743992430538388544.[1]

Tulajdonságai[szerkesztés]

Két pozitív szám számtani közepe sosem kisebb, mint mértani közepük. Ezért gn növekvő, an csökkenő sorozat, és gnM(xy) ≤ an. Az egyenlőtlenség szigorú, ha xy. Tehát a számtani-mértani közép a mértani és a számtani közepek között van.

Ha r ≥ 0, akkor M(rx,ry) = r M(x,y).

Reprezentálható integrál alakban:

ahol K(k) teljes elsőfajú elliptikus integrál:

A definíció szerinti számítás elég gyorsan konvergál ahhoz, hogy a számtani-mértani sorozatot elliptikus integrálok számításához használják. A mérnöki tudományokban elliptikus szűrőket terveznek vele.[2] A másodfajú elliptikus integrálok kiszámításához a módosított számtani-mértani közép használható.[3]

A számtani-mértani közép módszerével a logaritmus is jól közelíthető.

Kapcsolódó fogalmak[szerkesztés]

Az 1 és a négyzetgyök 2 számtani-mértani közepének reciproka a Gauss-konstans:

A mértani-harmonikus közép hasonlóan számítható, a mértani és a harmonikus középből képzett sorozatokkal. Hasonolóan a számtani-harmonikus közép is definiálható, de megegyezik a mértani középpel.

A létezés bizonyítása[szerkesztés]

A számtani-mértani közepek között teljesül az alábbi egyenlőtlenség:

így

ennélfogva a gn sorozat nemcsökkenő.

Továbbá könnyen látható, hogy felülről korlátos, mivel x és y közül a nagyobb jó felső korlát, ami következik abból, hogy a számtani és a mértani közép is a kettő között van. Emiatt a monoton konvergencia tétele szerint konvergens, tehát létezik határértéke, amit jelöljünk g-vel:

Azt is láthatjuk, hogy:

és így

Az integrálos alak bizonyítása[szerkesztés]

Ez a bizonyítás Gausstól származik.[4] Legyen

Helyettesítjük az integrációs változót -vel, ahol

ezzel

Így

Ez utóbbi egyenlőség abból adódik, hogy .

Amivel

Története[szerkesztés]

Az első számtani-mértani közepet használó algoritmust Lagrange alkalmazta. Tulajdonságait Gauss elemezte.[4]

Források[szerkesztés]

  1. agm(24, 6) at WolframAlpha
  2. Hercules G. Dimopoulos. Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis. Springer, 147–155. o. (2011). ISBN 978-94-007-2189-0 
  3. Adlaj, Semjon (September 2012), "An eloquent formula for the perimeter of an ellipse", Notices of the AMS 59 (8): 1094–1099, doi:10.1090/noti879, <http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf>. Hozzáférés ideje: 2013-12-14
  4. ^ a b David A. Cox.szerk.: J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein: The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss, Pi: A Source Book. Springer, 481. o. (2004). ISBN 978-0-387-20571-7  first published in L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), p. 275-330

Ez a szócikk részben vagy egészben az arithmetic–geometric mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.