Unió (halmazelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az unió szó további jelentéseihez lásd az Unió (egyértelműsítő lap) című szócikket.

Az unió a halmazelmélet egy művelete, ami két vagy több halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az eredeti halmazok összes elemét tartalmazza és más elemet ne tartalmazzon.

Az A és B halmazok uniója

Definíció[szerkesztés]

Ha és halmazok, akkor az és egyesítésének (vagy más szóval uniójának) nevezzük és (szóban: „á unió bé”) módon jelöljük azon elemek összességét, melyek illetve közül legalább az egyikben benne vannak. Ezt szimbolikusan így írjuk: .

Megjegyzés: Azt, hogy halmaz, az úgynevezett egyesítési axióma mondja ki.

Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló halmazrendszer elemeinek unióját:

Legyenek tetszőleges halmazok, ahol tetszőleges indexhalmaz. Az halmazok egyesítése (vagy más néven uniója) a következő halmaz:

.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Az halmazok egyesítése idempotens, kommutatív, asszociatív művelet, azaz tetszőleges , , halmazok esetén:

  • ; (idempotencia)
  • ; (kommutativitás)
  • ; (asszociativitás[1])

illetve az egyesítés disztributív a metszet műveletre, és a metszet művelet disztributív az egyesítésre:

  • ; (disztributivitás)
  • ; (disztributivitás)

továbbá:

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Lásd még az asszociativitás szócikket.

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994