Ferdetest

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az algebrában ferdetest a neve az olyan egységelemes gyűrűnek, amelyben minden nemnulla elemnek van multiplikatív inverze, azaz minden x∈, x≠0 elemhez van olyan −1 elem, hogy −1=−1=1.[1]

A ferdetest tehát a test minden tulajdonságának megfelel, kivéve a szorzás kommutativitását. Nem kommutatív ferdetestre példa a kvaterniók ferdeteste.

A ferdetest centruma egy test, amely fölött a ferdetest a beágyazással algebrává válik. Egy adott K közös centrumú, K fölötti vektortérként véges dimenziójú ferdetestek halmaza K Brauer-csoportja.

A szintetikus geometriában ferdetesteket használnak az affin és a projektív geometriák koordinátázásához. A nem test feletti projektív és affin síkokat alternatív testekkel, kvázitestekkel és ternértestekkel koordinátázzák. Ezek a ferdetest fogalmát általánosítják: minden ferdetest alternatív test, minden alternatív test kvázitest, és minden kvázitest ternértest.

Szóhasználat[szerkesztés]

Sokszor ferdetestre gondolnak, amikor testről írnak, különösen a régebbi irodalomban. Német nyelvterületen néha még ma is felbukkan a Körper szó ebben a jelentésben. Az angolban általában a division ring kifejezést használják; a skew field gyakran csak arra az esetre vonatkozik, amikor kiemelik, hogy az adott struktúra nem kommutatív. Általában a field vonatkozik a kommutatív és a nem kommutatív esetre is. A francia corps is inkább a ferdetestre vonatkozik.

Definíciók[szerkesztés]

Az S halmaz ferdetest, ha el van látva a + és a műveletekkel, és a 0 és 1 konstansokkal, hogy:

  1. Abel-csoport
  2. csoport
  3. a szorzás mindkét oldalról disztributív az összeadásra, azaz S bármely három a, b és c elemére
  • balról disztributív
  • jobbról disztributív

A mindkét oldali disztributivitásra azért van szükség, mert a szorzásnak nem kell kommutatívnak lennie.

Cohn ekvivalens definíciója a ferdetest multiplikatív félcsoportját helyezi előtérbe:[2]

Legyen csoport, amit bővítünk egy 0 elemmel úgy, hogy . Legyen olyan, hogy

  1. minden -re,
  2. minden -ra

akkor ferdetest az

összeadással. Adott összeadással ellátott ferdetest esetén a leképezés alakban adható meg.

Günter Pickert ekvivalens definíciója nem követeli meg a disztributivitást:[3] Legyen halmaz a + és a műveletekkel, és a 0 és 1 konstansokkal, továbbá

  1. Abel-csoport,
  2. csoport
  3. és szintén csoport a művelettel,
  4. és .

Ekkor ferdetest.

Tulajdonságok és kapcsolódó fogalmak[szerkesztés]

Résztest[szerkesztés]

Hogyha S ferdetest, és részhalmaza S-nek úgy, hogy , részcsoport -ban, és és , akkor D részteste S-nek. Jelölése:

Test[szerkesztés]

Ha az ferdetest elemei a fentieken kívül még kommutatívak is a szorzásra nézve, akkor -et testnek nevezzük. (Egyes szerzők a nemkommutatív ferdetesteket is testnek nevezik, a kommutatív ferdetestekre pedig a kommutatív test kifejezést használják.)

Az ferdetest centruma a ={z∈:zx=xz ∀x∈} halmaz. Egy ferdetest centruma mindig test; maga a ferdetest a centruma fölötti algebrát alkot.

Centrum és centralizátor[szerkesztés]

  • Ha ferdetest, akkor a halmaz S centruma. Elemei a centrális elemek.
  • S centruma a multiplikatív csoport centruma, hozzávéve a nullelemet: . A centrum test.
  • Az részhalmaz centralizátora nem más, mint Minden centralizátor nem feltétlenül kommutatív részteste S-nek.
  • Az A részhalmaz centralizátorára teljesül, hogy
  • A centralizátor képzése megfordítja a halmazelméleti tartalmazást:. Speciálisan, .

További rokon fogalmak és tulajdonságok[szerkesztés]

  • A divízióalgebrákban a szorzásnak nem kell asszociatívnak lennie. Minden ferdetest divízióalgebra a centruma felett. Megfordítva, egy K test feletti divízióalgebra pontosan akkor ferdetest, ha asszociatív, és csoportot alkot. Ekkor K a a centrumnak, mint testnek részteste,
  • Minden ferdetest majdnemtest, és megfordítva, egy majdnemtest pontosan akkor ferdetest, ha mindkét oldalról disztributív.
  • Majdnemtestet kapunk, ha Cohn definíciójából elhagyjuk a rákövetkező függvényt.
  • Minden ferdetest geometriai értelemben féltest, és alternatív test. Megfordítva, egy alternatív test akkor és csak akkor ferdetest, ha a szorzása asszociatív.
  • Egy egységelemes gyűrű akkor és csak akkor ferdetest, ha minden nullától különböző eleme jobbról és balról invertálható. A két inverz egyértelműsége és egyenlősége már a gyűrű definíciójából következik.

Nevezetes tételek[szerkesztés]

A Wedderburn-tétel szerint minden véges ferdetest kommutatív.[4]

Frobenius tétele azt mondja ki, hogy a valós számok teste fölött csak három olyan véges dimenziós asszociatív algebra van, amelyben minden nemnulla elemnek van multiplikatív inverze: maga a valós számok teste, a komplex számok teste és a kvaterniók ferdeteste.

Konstrukciók[szerkesztés]

Valamennyi test egyben ferdetest is. A nemkommutatív ferdetestek közül talán a legismertebb a kvaterniók által alkotott ferdetest. Wedderburn tétele miatt minden ilyen ferdetest végtelen.

A kommutatív testek algebrai vagy transzcendens bővítésekkel előállnak prímtestükből. A ferdetestekre nem ismert hasonló kanonikus konstrukció. A legtöbb módszer egy alkalmas nullosztómentes gyűrűt ágyaz be a bal vagy a jobb hányadostestébe. Egy viszonylag egyszerű feltételt Øystein Ore talált az alkalmas gyűrűkre; ez az Ore-feltétel.

A végtelen dimenziós bővítések analóg módon építhetők a Hilbert által megadott ferdetestekre:[5]

  1. Legyen K test, vagy egy ismert ferdetest
  2. az u határozatlanú racionális függvénytest
  3. Legyen -n egy gyűrűendomorfia
  4. Egy új v határozatlannal képezzük a nem kommutatív polinomgyűrűt, ahol az uv szorzatot a felcserélési szabály határozza meg.
  5. A nullosztómentes Ore-gyűrű jobb hányadosteste , ami a tulajdonképpeni Hilbert-test.[5]

A centrum a Hilbert-testnek is centruma, továbbá . Ha K formálisan valós test, akkor H rendezhető az algebrai műveletekkel összeegyeztethető módon.

A konstrukció általánosítása a fent definiált helyett egy másik gyűrűendomorfiát is választhat.

Története[szerkesztés]

1843-ban Sir William Hamilton konstruálta az első nemkommutatív ferdetestet, a kvaterniókat. A háromdimenziós tér vektorait próbálta ahhoz hasonlóan ábrázolni, ahogy a síkvektorokat ábrázolják a komplex számok. Az általa és követői által erre épített geometriai kalkulus hozzájárult a vektoranalízis kifejlődéséhez. A centrumuk fölött véges dimenziós C-vektortereket alkotó ferdetestek az 1920-as és az 1930-as évek kedvelt témái voltak. Az 1970-es években kiújult irántuk az érdeklődés.[6]

David Hilbert 1903-ban konstruálta az első olyan ferdetestet, amely végtelen dimenziós a centruma fölött. Keresett egy modellt, ami a formálisan valós testekkel analóg módon lehetővé teszi a műveletekkel összhangban levő rendezést a ferdetestekben. Egy ilyen ferdetest fölött sikerült neki definiálni egy affin geometriát, amely megfelelt az általa definiált euklideszi axiómarendszer néhány axiómájának.

1931-ben Øystein Ore a róla elnevezett és a cikkben tárgyalt konstrukciójával foglalkozott.

Hivatkozások jegyzéke[szerkesztés]

  1. Wolfram MathWorld: Skew Field
  2. Cohn (1995)
  3. Günter Pickert: In: Mathematische Zeitschrift. Nr. 71, 1959, 99–108.
  4. J.H.M. Wedderburn: 'A theorem on finite algebras', Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 349-352.
  5. ^ a b Cohn (1995), 6.1
  6. Jacobson (1996)
  1. L. A. Skornyakov: Skew-field. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
  2. P. M. Cohn, Gian-Carlo Rota (Hrsg.): Skew Fields. Theory of general division rings (= Encyclopedia of Mathematics and its applications. Vol. 57). 1. Auflage. Press Syndicate of the University of Cambridge, Cambridge 1995, ISBN 0-521-43217-0.
  3. John Dauns, Karl H. Hofmann, Rudolf Wille (Hrsg.): A Concrete Approach to Division Rings (= Research and Education in Mathematics. Vol. 2). 1. Auflage. Heldermann Verlag, Berlin 1982, ISBN 3-88538-202-4 (Inhaltsverzeichnis, abgerufen am 23. März 2012).
  4. Nathan Jacobson: Finite-dimensional division algebras over fields. 2. korrigierte Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg u. a. 2010, ISBN 978-3-540-57029-5.
  5. Günther Pickert: Einführung in die Höhere Algebra (= Studia mathematica. 7). 1. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1951.