Ugrás a tartalomhoz

Bázis (lineáris algebra)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugyanaz a vektor, több bázisban reprezentálva, lila és piros nyilakkal

A lineáris algebrában egy vektortér bázisa egy olyan vektorhalmaz, melyben lévő elemek egymástól lineárisan függetlenek és lineáris kombinációik megadják a vektortér minden elemét (azaz generátorrendszert alkotnak). A bázis egy minimális számú generátorrendszere a térnek és egy maximális számosságú, egymástól lineárisan független elemekből álló részhalmaza is egyben.

A bázis elemei a bázisvektorok. Ha egy vektort egy bázis vektorainak lineáris kombinációjaként állítunk elő, akkor az együtthatók rendre a vektor koordinátái az adott bázisban. Függvényterekben a bázis elemeit bázisfüggvényeknek nevezzük. Egy vektortérben általában több bázis is van; a bázisváltást koordinátatranszformációnak is nevezzük. Ha más bázisokról is szó van, akkor ezt a bázist Hamel-bázisként említik. Nem tévesztendő össze egy koordináta-rendszer bázisával, ami egy másik fogalom.

Definíció

[szerkesztés]

Vektorok egy BV halmaza (ami lehet véges vagy végtelen) sok definíció szerint akkor bázis (Hamel-bázis), ha a vektortér minden eleme, lényegében egyértelműen, állítható elő véges sok, B-beli elem lineáris kombinációjaként. A „lényegében” szó itt arra utal, hogy két előállítás csak nulla együtthatójú tagokban különbözhet egymástól.

Adva legyen a vektortér, és legyen egy részhalmaz -ben! A következő definíciók egyenértékűek:

  • minden eleme előáll elemeinek lineáris kombinációjaként, és ez az előállítás egyértelmű
  • minimális generátorrendszere -nek; azaz minden eleme előáll elemeinek lineáris kombinációjaként, de ez egy részhalmazára sem teljesül
  • maximális lineárisan független halmaz -ben, azaz nincs -ben olyan vektor, melyet hozzávéve független maradna.
  • lineárisan független generátorrendszer -ben.

Alkalmas indexhalmaz segítségével egy bázis írható úgy, mint ; egy véges bázis úgy, mint . Egy indexhalmaz bevezetésekor gyakran a család írásmódot használják; például ahelyett, hogy , azt írják, hogy . Ha az indexhalmaz rendezett, akkor az a bázist is sorba rendezi. Ekkor rendezett bázis. Például véges bázis, megszámlálhatóan végtelen bázis. Ez lehetővé teszi az irányok definiálását vektorterekben.

Habár a bázisokat többnyire halmazként írjuk fel, praktikusabb indexelést használni. Ekkor a koordinátavektorok alakja ; a koordinátatér . Rendezett indexhalmaz esetén a bázis is rendezett. Például ha , akkor (a koordináták számozása). A koordinátatér ; valós, illetve komplex esetben , illetve .

A definíció kibontása véges dimenzióban

[szerkesztés]

Legyen egy feletti vektortér (jelben: ), a vektortér bázisa, ha

1.)   a generátorrendszere - nek:

Bármely vektora esetén egyértelműen léteznek - beli skalárok úgy, hogy
Ebben az esetben a skalárokat a vektor bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.

2.) egymástól lineárisan független vektorok:

Ha , akkor .

A vektortér dimenzióját a bázis számossága adja meg:

Ennek következménye, hogy ha dimenziós vektortérnek és vektorlisták egyaránt bázisai, akkor .[1]

Az ekvivalens definíciók egyenértékűségének bizonyítása

[szerkesztés]
  • Ha minden vektor egyértelműen kifejezhető elemeinek lineáris kombinációjaként, akkor generátorrendszer. Ha nem minimális generátorrendszer, akkor van egy valódi részhalmaza, ami szintén generátorrendszer. Legyen most ; ekkor kifejezhető elemeinek lineáris kombinációjaként, tehát kétféleképpen is felírható elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond az egyértelműségnek. Ennélfogva minimális.
  • A minimális generátorrendszerek lineárisan függetlenek. Ha nem lineárisan független, akkor van egy , ami kifejezhető lineáris kombinációjaként. Ekkor vektorainak minden lineáris kombinációja behelyettesítéssel átírható lineáris kombinációjára, így nem minimális.
  • Egy lineárisan független generátorrendszernek maximális független halmaznak kell lennie. Ha nem maximális, akkor van egy vektor, ami lineárisan független -től. De kifejezhető elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond a lineáris függetlenségnek.
  • Minden maximálisan független rendszer generátorrendszer is: Legyen tetszőleges vektor! Ha eleme -nek, akkor kifejezhető lineáris kombinációjaként. Ha nincs benne -ben, akkor valódi tartalmazó halmaza -nek, így lineárisan összefüggő. Ekkor vannak olyan együtthatók, hogy . Itt nem lehet az összes , mivel lineárisan független; így az egyik megegyezik -gal. Feltehetjük, hogy ez , és együtthatója a nullától különböző . Ekkor . Az ábrázolás egyértelműsége lineáris függetlenségéből következik.

A létezés bizonyítása

[szerkesztés]

A Zorn-lemmával igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.

Legyen b vektortér! Bázis, azaz maximálisan lineárisan független részhalmazt keresünk benne. Vesszük az

halmazrendszert, ami részben rendezett a relációra. megmutatható, hogy:

  • nem üres, hiszen benne van az üres halmaz. Ha nem üres, akkor az összes nullvektortól különböző vektora szerepel benne egyelemű halmazként.
  • minden lánc is -ben.

A Zorn-lemmából következik, hogy -nek van maximális eleme. A maximális elemek azonban maximális lineárisan független részhalmazok -ben, vagyis bázisai. Tehát -nek van bázisa, és minden lineárisan független vektorból álló halmaz egy bázis része.

Egy elemű véges test fölötti dimenziós vektortérben

különböző bázis van.

Kiegészítési tétel

[szerkesztés]

Adva legyen vektorok lineárisan független részhalmaza, és a létezés bizonyítása szakasz jelölésével legyen

és felhasználjuk azt az eredményt, hogy -t tartalmazza egy maximális eleme, ami bázis -ben. Így minden lineárisan független vektorhalmaz kiegészíthető bázissá.

Kicserélési tétel (Steinitz-tétel)

[szerkesztés]
Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gn generátorrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármely fi-hez található olyan gj, hogy
is lineárisan független rendszer.
Bizonyítás
Tegyük fel indirekt, az általánosság megszorítása nélkül, hogy például f1-re ez nem igaz, vagyis az f2,…,fn vektorokhoz akármelyik gj-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Tehát f2,…,fn független rendszerből előállítható g1,..., gn generátorrendszer bármely eleme. Ebből következik, hogy f2,…,fn bázis. Így V minden eleme, speciálisan f1 is előáll f2,…,fn lineáris kombinációjaként. De ez ellentmond f1,…,fn lineáris függetlenségének.

Kicserélési tételt felhasználva igazolható

Tétel
Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gk generátorrendszer egy V vektortérben.
Ekkor nk.
Bizonyítás
Első lépésben f1-et cseréljük ki valamelyik gj-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f2-t alkalmas g-re, és így tovább, egészen addig, míg az fi-k el nem fogynak.
Az így nyert független rendszerben már csak g-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Tehát legalább annyi g-nek kellett lennie, mint f-nek.
Következmény
Egy véges V vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.

Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Végtelen elemszám esetén ezt általában Hamel-bázisnak nevezik, és bizonyítható, hogy

Egy tetszőleges vektortér bármely két bázisa azonos számosságú.

Ebből következik viszont, hogy a vektortér dimenziója jóldefiniált fogalom.

Tulajdonságok

[szerkesztés]
  • Minden vektortérnek van bázisa.
  • Egy vektortérnek több bázisa is lehet.
  • Egy vektortér minden bázisa ugyanannyi elemből áll. Ez a szám, ami lehet végtelen kardinális szám is, a vektortér dimenziója.
    • Végtelen dimenzióban ez az állítás a Zorn-lemma következménye; valójában vele ekvivalens.
    • Az állítás következménye, hogy adott test felett adott dimenzióban izomorfizmus erejéig pontosan egy vektortér létezik.[2]
  • Legyen , résztere -nek. Legyen a nek bázisa, ekkor a bázist ki lehet egészíteni úgy - beli vektorokkal, hogy az bázisa legyen -nek.[1]
  • Minden vektortér szabad objektum bázisa fölött. Ez a vektorterek univerzális tulajdonsága a kategóriaelmélet értelmében. Ez azt jelenti, hogy:
  • Egy lineáris leképezést egyértelműen meghatározza egy bázis elemeinek képei. Legyen vektortér a test fölött! Ekkor a részhalmaz egyértelműen definiál egy lineáris leképezést, ahol az -edik standard bázisvektor. Ez a leképezés:
  • pontosan akkor injektív, ha a vektorok lineárisan függetlenek
  • szürjektív, ha -k generátorrendszert alkotnak
  • bijektív, ha a vektorok bázist alkotnak
Egy bázis tetszőleges leképezése a képtérben lineáris leképezést definiál.
Mindez a jellemzés átvihető modulusokra is.

Koordináták

[szerkesztés]

Egy V vektortérben, egy rögzített b1,…,bn bázis mellett tetszőleges vV vektor egyértelműen írható fel

alakban.
Ekkor az skalárok a v vektor koordinátái, a b1,…,bn bázisra vonatkozólag. Egy vektortérben a vektorok koordinátái a vektortér alaptestének elemei. Ezek együtt alkotják a koordinátavektort, ami egy másik vektortér, a koordinátatér eleme. Lényeges, hogy melyik koordináta melyik vektorhoz tartozik. Ha a bázis nincs indexelve, akkor az egyes vektorokat indexben jelölni kell.

Báziscsere

[szerkesztés]

Legyen vektortérben és bázis.

a.) Ha a egyik vektora, úgy, hogy , akkor a a vektor felírása a bázisban
b.) Legyen -beli elem minden -re és -re. Felírható a következő egyenletrendszer:
Ekkor a vektorokhoz tartozó együtthatókat rendre beírjuk egy mátrix oszlopaiba, a keletkezett mátrix a bázisból bázisba való áttérési mátrix lesz.
[1]

Példák

[szerkesztés]
e1 és e2 a sík egy bázisa
  • a síkbeli, közönséges vektorok vektorterében bázist alkot a szokásos i, j ortonormált vektorpár.
  • a standard bázis az euklidészi síkban, vagyis az vektorpár
  • két, nem egyazon, vagy ellentétes irányba mutató vektor az euklidészi síkban
  • hasonlóan -ben a szokásos, jobbsodrású vektorhármas
  • -ben ortonormált bázist alkot az
vektorhalmaz, mely standard bázisa.
  • -ban bázis
ahol 0, 1 az F test null- illetve egységeleme.
  • az F feletti polinomok vektorterében bázist alkotnak az
vektorok.
  • a polinomok vektorterében vannak más bázisok, amelyek konkrét alkalmazásokban hasznosabbak, mint a monomok, például a Legendre-polinomok
  • a legfeljebb k-adfokú polinomok egy bázisa:
  • a nullvektortérben az üres halmaz
  • a , mint fölötti vektortérben az halmaz
  • a , mint fölötti vektortérben egy olyan számpár, melyek hányadosa nem valós
  • a valós számsorozatok körében az vektorok lineárisan függetlenek, de nem alkotnak bázist, mivel például nem fejezhető ki véges sok elem lineáris kombinációjaként
  • , mint fölötti vektortér esetén van bázis, amit nem lehet explicit megadn

Speciális vektorterekben

[szerkesztés]

Valós és komplex vektorterek további topológiai struktúrával bírnak. A fent bevezetett bázisfogalomtól eltérő bázisok is definiálhatók bennük.

Bázis és duális bázis a háromdimenziós valós vektortérben

[szerkesztés]

A klasszikus mechanikában a megfigyelési teret skalárszorzatos háromdimenziós valós vektortérrel, azaz a (V³, ·) vektortérrel modellezik. A skalárszorzat megléte a vektorteret további tulajdonságokkal ruházza fel.

Háromdimenziós valós vektortérben minde bázishoz tartozik pontosan egy duális bázis úgy, hogy ahol δ a Kronecker-delta. A skalárszorzattal definiálható a vektorok normája és szöge, így előállíthatók ortonormált bázisok, melyek elemei páronként ortogonálisak, és normájuk egységnyi. Ortonormált bázisok esetén a duális bázis megegyezik a bázissal.

Minden vektor kifejezhető bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

A skalárszorzattal ellátott háromdimenziós valós vektortér teljes is, azaz Hilbert-tér.

Hamel- és Schauder-bázisok skalárszorzatos terekben

[szerkesztés]

Valós és komplex skalárszorzatos vektorterekben, különösen a Hilbert-terekben az elemek előállíthatók más, bizonyos céloknak megfelelőbb módon. Ebben az előállításban ortonormált bázist használunk, de megengedünk végtelen összegeket is. A végtelen összeg megengedése miatt ez nem bázis a fenti értelemben, így egy másik nevet kap: ez a Schauder-bázis. A fent leírt bázist ekkor Hamel-bázisnak hívják.

Auerbach-bázis

[szerkesztés]

Egy Auerbach-bázis egy normált vektortér sűrű alterének Hamel-bázisa; úgyhogy minden bázisvektor távolsága a többi vektor által generált altértől megegyezik a bázisvektor normájával.

A különböző bázisfogalmak elhatárolása

[szerkesztés]
  • A Hamel- és a Schauder-bázis is lineárisan független vektorokból áll.
  • Egy Hamel-bázis, röviden bázis vektorok véges lineáris kombinációjával fejezi ki a tér vektorait.
  • Véges dimenziós valós, illetve komplex skalárszorzatos vektorterekben egy ortonormált bázis egyszerre Hamel- és Schauder-bázis.
  • Végtelen dimenziós, teljes valós vagy komplex skalárszorzatos vektortérben, speciálisan végtelen dimenziós Hilbert-térben a Hamel- és a Schauder-bázisok sosem esnek egybe. Végtelen dimenziós esetben egy Hamel-bázis nem mindig ortonormálható.
  • Végtelen dimenziós, szeparábilis Hilbert-tér Hamel-bázisa nem megszámlálható; ezzel szemben egy Schauder-bázis megszámlálható. Nem létezik Hamel-dimenziós Hilbert-tér.
  • Hilbert-terekben bázison többnyire Schauder-bázist értenek; skalárszorzat nélküli vektorterekben mindig Hamel-bázist.

Általánosítás

[szerkesztés]

A test feletti vektortér fogalmának általánosítása a gyűrű feletti modulus. Az állítás, miszerint minden vektortérnek van bázisa, nem általánosítható modulusokra. Ennek hátterében az áll, hogy a gyűrű nem minden eleme invertálható. Egy modulusnak akkor és csak akkor van bázisa, ha a modulus szabad.[3]

Források

[szerkesztés]
  1. a b c Marcus, Andrei. Algebra [2005] 
  2. Csernák Tamás: Zorn-lemma és alkalmazásai. ELTE TTK. (Hozzáférés: 2021. március 9.)
  3. Weisstein, Eric W.: Free Module (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Basis (Vektorraum) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.