Ellentett

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában egy szám ellentettje vagy additív inverze az a szám, amivel -et összeadva az eredmény nulla. Az ellentett jele: :

Például a ellentettje a , mert ; a ellentettje pedig a , ugyanis .

Egy szám ellentettje kiszámítható -gyel való szorzással:

A következő számhalmazok minden elemének van ellentettje az adott halmazon belül: egész számok, racionális számok, irracionális számok, valós számok, komplex számok stb. Ugyanakkor például a természetes számokon belül csak a 0-nak van ellentettje (saját maga). Ha azonban az egészek között vizsgálódunk, akkor azoknak az egészeknek is van ellentettjük, amik egyébként egyben természetes számok is, csak ezek az ellentettek a 0-t kivéve nem természetes számok. Egy szám ellentettjének létezése tehát csak egy konkrét számhalmazon értelmezhető.

Általánosítás[szerkesztés]

Az ellentett absztrakt algebrai általánosítása az additív inverz. Itt elvonatkoztatnak a konkrét összeadás műveletétől, és a „+” jellel csak egy általános, valamilyen halmazon értelmezett kommutatív kétváltozós műveletet jelölnek, ennek egységelemét pedig 0 jelöli. Ugyanez jelekkel:

A második sorban leírt -tulajdonságú elemből nem létezhet egynél több, hiszen ha lenne egy másik – jelöljük -vel –, akkor ezek egyenlők:

.

Az elem additív inverze egy olyan -szel jelölt elem, hogy:

Ha a „+” művelet asszociatív, azaz

akkor nem létezhet egynél több additív inverz, hiszen ha és is additív inverz, akkor egyenlők:

Ha minden elem invertálható, azaz

akkor a „+” művelet invertálható a halmazon.

Ha egy művelet teljesíti a fenti követelményeket, azaz

  • zárt egy halmazra
  • asszociatív
  • kommutatív
  • van egységeleme
  • invertálható

akkor a algebrai struktúrát Abel-csoportnak nevezik.

Abel-csoport például a valós számok halmaza az összeadással, a nemnulla valósok a szorzással, a valós–valós függvények a függvényérték szerinti összeadással, az adott méretű (például ×-es) mátrixok a mátrixösszeadással stb.

Lásd még[szerkesztés]