Kotangenstétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kotangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög bármely félszögének kotangense egyenlő a félkerület és a szemközti oldal különbségének és a beírt kör sugarának arányával, vagyis:

ahol a háromszög beírt körének sugara, pedig a háromszög félkerülete.

Másképp:

.

Bizonyítása[szerkesztés]

A kotangenstétel bizonyítása

Legyen az csúcsnál lévő szög (a szokásos jelöléssel) , a szemközti oldal pedig .

Ha a beírt kör középpontjából merőlegest bocsátunk valamelyik (nem ) oldalra, az pontot pedig összekötjük a középponttal, akkor – az ábra szerint – egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek -nál lévő szöge , mert a beírt kör középpontja a szögfelezőkön van.

E háromszög szöggel szemközti befogója éppen hosszúságú.

A háromszög oldalait a beírt körrel való érintési pontjai rendre két-két részre osztják, melyek hossza az ábra szerint , , (adott pontból a körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő).

Az háromszög félkerületének hossza így , amiből az háromszög befogójára adódik. Az háromszögben pedig

.

Mivel a bizonyítás közben a háromszög oldalainak, szögeinek semmilyen speciális tulajdonságát nem használtuk ki, a tétel éppígy igaz a többi oldalra is. Q.E.D.

Lásd még[szerkesztés]