Radián

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A radián definíciója egységkörben: \alpha = b\,

A radián v. ívmérték a síkszögek egyik mértékegysége, amelyet a rad szimbólummal jelölnek. Dimenzió nélküli mértékegység, mivel két hosszúság hányadosa.

A radiánt jelenleg az SI származtatott egységekhez sorolják (korábban kiegészítő egységnek számították). A térszögek egysége a szteradián.

A matematikusok a szöget általában radiánban mérik, és a radián jelölést gyakran elhagyják. Ha fokot használnak, azt a ° jellel különböztetik meg.

Például 1≈57,3° ; 1=57°17'44,81' ' ; 1=57,29577951…°

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy radián az a szög, amely alatt a sugárral megegyező nagyságú ívhossz a középpontból látszik. Másképp a radián a sugárnyi hosszúságú ívhosszhoz tartozó középponti szög.

Egy kör középponti szögének radiánban mért értéke kiszámolható, ha a hozzá tartozó ívhosszat elosztjuk a sugárral.

Egységnyi sugarú körben 1 radián annak a szögnek az ívmértéke, amelyhez éppen 1 hosszegységnyi körív tartozik. Egységkörben ezért a középponti szögek ívmértékének és ívhosszának mérőszáma mindig megegyezik. Ez meglehetősen kényelmessé teszi pl. a trigonometriai jellegű számításokat.

Átszámítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A radiánból a fokokba való átszámítás azon az elemi geometriai tételen alapul, miszerint a kör középponti szögei és e szögek ívhossza egyenesen arányosak, jelekkel:  \alpha\sim i . Az átváltáshoz használjuk fel az egyenes arányosságot! Tudjuk, hogy  \pi radián az  180^{\circ} . Legyen  a radián egyenlő  \alpha fokkal! Ekkor a következőképpen járjunk el:

 
\begin{align}
\pi=180^{\circ}\\
a=\alpha.\\
\end{align}

Ebből már a keresztbe szorzás módszerével ki tudjuk fejezni alfát.

 \alpha=\frac{a\cdot180^{\circ}}{\pi}.

Tehát ha  a radiánt akarjuk átváltani fokba, akkor az  a radiánt meg kell szoroznunk 180 fokkal, majd a pível osztani kell. Honnan tudjuk, hogy a  \pi radián az 180 fok? A szöghöz tartozó ív és sugár hányadosa megmutatja, hogy a szög hány radián. Tehát  \beta=\frac ir . A körívet tekintsük a 360 fokhoz tartozó ívnek, ekkor  i=2r\pi , a sugarat pedig vegyük egységnyinek.

 \beta=\frac ir =\frac{2\cancel{r}\pi}{\cancel{r}}=2\pi

Tehát azt kapjuk, hogy a teljesszög (360°) ívmértéke  2\pi . A  \pi a  2\pi fele, tehát 180°.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A radián kifejezés először 1873. június 5-én jelent meg nyomtatásban James Thomson (Queen's College, Belfast) által felvetett kérdések vizsgálata során. James Thomson Lord Kelvin bátyja volt. Ő már 1871-ben használta a kifejezést, míg 1869-ben Thomas Muir (St. Andrew's University) még habozott, hogy a rad, radial vagy radian alakot használja-e. 1874-ben, Muir a radiánt fogadta el, miután konzultált James Thomsonnal.[1]

A szögnek az ívhosszal való mérésének elvét talán Roger Cotes-nak köszönhetjük (1714).[2] Nála már minden készen volt a radiánnal kapcsolatban, a nevét kivéve. Felismerte, hogy ez egy természetes szögmérték.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Sources: Florian Cajori, 1929, History of Mathematical Notations, Vol. 2, pp. 147–148; Nature, 1910, Vol. 83, pp. 156, 217, and 459–460; [1]
  2. Roger Cotes, MacTutor History of Mathematics

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]