Háromszög magassága

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A háromszög magasságpontja

A háromszög magasságvonalán a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest értjük.

Magasságpont[szerkesztés]

A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a magasságpont.

Bizonyítás:

Az háromszögben az csúcshoz tartozó magasság , -hez tartozó pedig . Húzzunk a háromszög csúcsain keresztül párhuzamosakat a szemközti oldallal, így egy új háromszöget kapunk, amiben , , négyszögek paralelogrammák. Az eredeti háromszög oldalai az háromszög középvonalai, mivel felezőpontja , felezőpontja , felezőpontja pedig . háromszög származtatása miatt az oldalfelező merőlegese, az felezőmerőlegese, pedig -nek. Mivel ezek egy pontban metszik egymást, így a magasságvonalak is egy pontban metszik egymást.

A magasságpont tulajdonságai[szerkesztés]

  • A magasságpont rajta van az Euler-egyenesen
  • A magasságpontot a háromszög oldalainak felezőpontjára tükrözve a képpontok a háromszög köré írt körre illeszkednek
  • Baricentrikus koordinátái:
  • Trilineáris koordinátái:
  • A háromszög magasságainak szeleteinek szorzatára:

AM·MTa=BM·MTb=CM·MTc

Magasság talppontja és talpponti háromszög[szerkesztés]

Talpponti háromszög

A magasság talppontja a magasságvonal és az arra vonatkozó oldal metszéspontja.

A talpponti háromszög a háromszög magasságainak talppontjai által meghatározott háromszög. Egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb; a hegyesszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírt körének középpontja, és tompaszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszögének hozzáírt körének a középpontja (a háromszög leghosszabb oldalából származó oldalhoz írva), ugyanis a magasságvonalak felezik a talpponti háromszög szögeit, vagy külső szögeit.

A háromszög magasságainak talppontjai rajta vannak a háromszög Feuerbach-körén.

Magasságtétel[szerkesztés]

A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre bontja (p és q), és az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe, vagyis .

Bizonyítás:

Legyen az derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az ( szög megegyezik, derékszögek, merőleges szárú szögek). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis , ami ekvivalens az állítással.

Befogótétel[szerkesztés]

Egy derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe, azaz .

Bizonyítás:

Legyen az derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának talppontja T. Az ( szög közös, derékszögek, az egyik oldal megegyezik). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik: , ami éppen a tételben szereplő azonosság.

Lásd még[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  • Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal
  • Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 184-185. és 198-199. oldal.
  • Reiman István: Geometria és határterületei
  • H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.50