Térszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Térszög

A térszög (jele: Ω) egy olyan szög a 3 dimenziós térben, amelyet egy 0 csúcspontú, tetszőleges zárt vezérgörbéjű kúp határoz meg. A térszöget annak a felületdarabnak a nagyságával mérjük, amelyet a kúpfelület az 0 középpontú gömbből kivág. (A kivágott felület alakja közömbös, csak a nagysága számít.)

A térszög azt méri, hogy az adott pontból nézve milyen nagynak tűnik egy objektum. (Például egy közel lévő kis objektum ugyanakkora térszöget zárhat be, mint egy távoli nagy objektum.) A térszög úgy viszonyul a gömb felszínéhez, mint a síkszög a kör kerületéhez, vagyis értéke egyenesen arányos az objektumnak vetületének az 0 középpontú gömb felszínén mért területével (S) , és fordítottan a gömbsugár (r) négyzetével: (ahol k arányossági konstans).

Amennyiben a k konstanst 1-nek választjuk, akkor a térszög mértékegysége az SI-beli szteradián (jele: sr). Ekkor a térszög legnagyobb értéke a teljes gömbfelülethez tartozik: .

A térszög mérhető még négyzetfokban () vagy gömbrészben ().

A gömbrész méretének meghatározásához az adott objektum területét osztani kell a gömb teljes felszínével. A gömbrész (legyen most jele: gr) értéke ezután átszámítható szteradiánná vagy négyzetfokká (legyen most jele: nf) a következő képletek segítségével:

  1. - a szteradián érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket -vel.
  2. - a négyzetfok érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket , vagyis -vel.

Definíció[szerkesztés]

Legyen A tetszőleges felület, és S A vetülete az r sugarú gömb felszínén. Ekkor az A felület Ω térszöge

ahol a gömb középpontjából kifelé mutató egységvektor, infinitezimális felületdarab, és ρ ennek a gömb középpontjától mért távolsága.

Alkalmazások[szerkesztés]

Más dimenziókban[szerkesztés]

A térszög általánosítható minden d dimenzióra a d-gömbre való kiterjesztéssel. A gömbi szimmetriával kapcsolatban gyakran szükség is van erre. A teljes d dimenziós gömb térszöge

ahol a teljes gammafüggvény.

Ha d egész, akkor a gammafüggvény értéke kiszámítható. Ezzel

Ez a képlet kiadja a kör kerületét a síkban és a 4π szteradiánt a háromdimenziós térben. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a intervallumra a 2-t adja ki, ami megegyezik ennek a szakasznak a hosszával.

Egyes objektumok térszögei[szerkesztés]

Tetraéder[szerkesztés]

Legyenek a tetraéder csúcsai A, B, C és O, ahol O az origó. Jelölje rendre az A-ba, B-be, C-be mutató vektorokat. A szög legyen a BOC szög, és defiiáljuk ehhez hasonlóan a szögeket. Jelölje az OAC és az OBC síkok által bezárt szöget, és definiáljuk a szögeket analóg módon. A tetraéder O-nál levő térszöge

Ez a gömbi felesleggel bizonyítható, és következményként egy olyan eredményt ad, ami megfelel a síkháromszög szögösszegéről szóló tételnek.

A tetraéder belső térszögeinek összege

ahol végigfut a hat lapszögön.

Oosterom and Strackee használható algoritmust adott a tetraéder O-nál levő térszögének kiszámítására.:[1] A fenti jelölésekkel

ahol

annak a mátrixnak a determinánsa, aminek sorai az vektorok. Ez megegyezik a három vektor vegyes szorzatával. A felülhúzás nélküli kisbetűk a vektorok hosszát, az egymás mellé írt vektorok a két vektor skaláris szorzatát jelölik.

Egy másik hasznos képlet a térszöget a szögek függvényében adja meg. Ez L' Huilier tételéből adódik:

ahol

Kúp, gömbsüveg, félgömb[szerkesztés]

Kúp (1) és gömbsüveg metszete (2) gömbben.
Az ábrán θ = a/2 és r = 1.

A csúcsszögű kúp térszöge az egységgömbi gömbsüveg felszínével egyenlő:

Ez az eredmény a következő kettős integrállal számítható ki:

Arkhimédész bebizonyította az integrálszámítás használata nélkül, hogy a gömbsüveg felszíne megegyezik annak a körnek a területével, aminek ugyanakkora a sugara, mint a gömbsüveg peremének és annak a pontnak a távolsága, ahol a gömbsüveg szimmetriatengelye metszi a gömbsüveget. A diagramon ez a sugár:

Így az egységgömbi gömbsüveg térszöge:

Ha θ = π/2, akkor a gömbsüvegből félgömb lesz, aminek térszöge 2π.

Egy kúp komplementerének térszöge:

A Föld felszínén a szélességen álló csillagász az éggömbnek ekkora részét figyelheti meg (az éggömb forgásának beszámításával):

.

Az Egyenlítőről minden látszik, a sarkokról csak a fél éggömb.

Piramid[szerkesztés]

A téglalap alapú egyenes gúla térszöge

ahol a és b a szemben fekvő oldalak lapszöge.

Ha az alap oldalhosszai α és β, és a piramid magassága d, akkor a csúcsszög:

Szélességi-hosszúsági téglalap[szerkesztés]

Egy szélességi és hosszúsági körök által határolt gömbi téglalap középponti szöge

, ahol és a határoló északi és déli szélességi kör, és és a határoló keleti és a nyugati hosszúsági kör. A hosszúsági körök radiánban mért szöge kelet felé nő.[2]

Matematikailag ez egy hosszú körívet jelent, ami radiánt söpör végig. Ha a hosszúság eléri a 2π radiánt, vagy a szélesség a π radiánt, akkor a térszög az egész kört átfogja.

A szélességi-hosszúsági téglalap térszöge nem tévesztendő össze a piramid csúcsszögével. A piramid oldalai főkörívekben metszik a gömböt, és a szélességi körök nem főkörök.

A Nap és a Hold[szerkesztés]

A Nap és a Hold is az éggömb 0,001%-át foglalja el, vagyis úgy 6 x 10-5 szteradiánt.[2]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Van Oosterom, A, Strackee, J (1983.). „The Solid Angle of a Plane Triangle”. IEEE Trans. Biom. Eng. BME-30, 125-126. o. DOI:10.1109/TBME.1983.325207.  
  2. [1]

Források[szerkesztés]

  • Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edinburgh, 1969
  • F. M. Jackson, Polytopes in Euclidean n-Space. Inst. Math. Appl. Bull. (UK) 29, 172-174, Nov./Dec. 1993.
  • Eric W. Weisstein, Spherical Excess at MathWorld.
  • Eric W. Weisstein, Solid Angle at MathWorld.