Gauss-törvény

A Gauss-törvény lényegében az elektrosztatika törvényeinek integrális alakú megfogalmazása, mely az E(x) elektromos térerősség és az elektromos töltéssűrűség között teremt kapcsolatot.

Tekintsünk egy zárt felület belsejében lévő q ponttöltést! Legyen r a töltés és a felület egyik pontjának távolsága, n a felületnek ebből a pontból kifelé mutató normálisa, dF pedig a tetszőlegesen kicsi felületelem. A q töltés által az adott pontban keltett E elektromos térerősség a felület normálisával Θ szöget zár be. Ekkor fennáll, hogy

$\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {cos\Theta }{r^{2}}}dF.$$\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {cos\Theta }{r^{2}}}dF.$

Az E térerősség vektor a felületelemet a q ponttöltéssel összekötő egyenes irányába mutat, ezért

$\mathbf {c} os\Theta dF=r^{2}d\Omega ,$$\mathbf {c} os\Theta dF=r^{2}d\Omega ,$

ahol dΩ a felületelem által átfogott térszögtartomány a töltés pontjából nézve. Ezt visszahelyettesítve az első képletbe, azt kapjuk, hogy

$\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}d\Omega$$\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}d\Omega$

Ha E normális komponensét integráljuk a teljes felületre, akkor az egyetlen ponttöltésre vonatkozó Gauss-törvényt kapjuk:

$\oint _{F}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}$$\oint _{F}{\mathbf {E}}\cdot {\mathbf {n}}dF={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}$

ha q az S tartományon belül van, és

$\oint _{F}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF=0,$$\oint _{F}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF=0,$

ha q az S tartományon kívülre esik.

Több töltésből álló diszkrét töltésrendszerre

$\oint _{F}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{i}{q_{i}}.$$\oint _{F}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{i}{q_{i}}.$

Az egyenletben szereplő i index az S felületen belül található töltéseken fut végig.

Folytonos ρ(x) töltéssűrűség esetén a Gauss-törvény

$\oint _{F}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )d^{3}x$$\oint _{F}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )d^{3}x$

alakú lesz. Itt V az F felület által határolt zárt tartomány térfogata.

A fenti integrális alakban felírt Gauss-tételt a Gauss-Osztrogradszkij-tétel segítségével differenciális alakban is felírhatjuk. Differenciális alakban az elektrosztatikai feladatok közvetlenül megoldhatók.

Források

• Klasszikus elektrodinamika (Typotex, Budapest, 2004)
• Matematikai zsebkönyv (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974)