Gauss-törvény

A Gauss-törvény lényegében az elektrosztatika törvényeinek integrális alakú megfogalmazása, mely az E(x) elektromos térerősség és az elektromos töltéssűrűség között teremt kapcsolatot.

Tekintsünk egy zárt felület belsejében lévő q ponttöltést! Legyen r a töltés és a felület egyik pontjának távolsága, n a felületnek ebből a pontból kifelé mutató normálisa, dF pedig a tetszőlegesen kicsi felületelem. A q töltés által az adott pontban keltett E elektromos térerősség a felület normálisával Θ szöget zár be. Ekkor fennáll, hogy

$\mathbf{E}\cdot\mathbf{n}dF = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{cos\Theta}{r^2}dF.$

Az E térerősség vektor a felületelemet a q ponttöltéssel összekötő egyenes irányába mutat, ezért

$\mathbf cos\Theta dF = r^2d\Omega,$

ahol dΩ a felületelem által átfogott térszögtartomány a töltés pontjából nézve. Ezt visszahelyettesítve az első képletbe, azt kapjuk, hogy

$\mathbf{E}\cdot\mathbf{n}dF = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}d\Omega$

Ha E normális komponensét integráljuk a teljes felületre, akkor az egyetlen ponttöltésre vonatkozó Gauss-törvényt kapjuk:

$\oint_F \mathbf{E}\cdot\mathbf{n}dF = \frac{q}{\varepsilon_0}$

ha q az S tartományon belül van, és

$\oint_F \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} dF = 0,$

ha q az S tartományon kívülre esik.

Több töltésből álló diszkrét töltésrendszerre

$\oint_F \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} dF = \frac {1}{\varepsilon_0}\sum_{i}{q_i}.$

Az egyenletben szereplő i index az S felületen belül található töltéseken fut végig.

Folytonos ρ(x) töltéssűrűség esetén a Gauss-törvény

$\oint_F\mathbf{E}\cdot\mathbf{n}dF=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(\mathbf{x})d^3x$

alakú lesz. Itt V az F felület által határolt zárt tartomány térfogata.

A fenti integrális alakban felírt Gauss-tételt a Gauss-Osztrogradszkij-tétel segítségével differenciális alakban is felírhatjuk. Differenciális alakban az elektrosztatikai feladatok közvetlenül megoldhatók.

Források

• Klasszikus elektrodinamika (Typotex, Budapest, 2004)
• Matematikai zsebkönyv (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974)