Vektorpotenciál (fizika)

A vektorpotenciál az elektrodinamikában az a vektormennyiség, amelynek rotációja a mágneses indukció.

Mágneses vektorpotenciál

Az időben állandó áramok által létrehozott stacionárius mágneses teret leíró egyenletek lineáris és izotróp közegben a Maxwell-egyenletek megfelelő egyszerűsítésével:

$\operatorname {rot} {\mathbf {H} }={\mathbf {J} }$

$\operatorname {div} {\mathbf {B} }=0$

${\mathbf {B} }=\mu \mu _{0}{\mathbf {H} }$

ahol a H a mágneses térerősség, B a mágneses indukció, j az áramsűrűség, és µ és µ₀ a közeg és a vákuum permeabilitása, amelyről feltételezzük, hogy térrészenként állandó. Mivel H nem örvénymentes, ezért nem állítható elő egy egyértékű skalár potenciál gradienseként. Általános esetben B indukciójú mágneses mezőt az A vektorpotenciállal jellemezhetünk. Bármely divergenciamentes B vektor előállítható egy alkalmas A vektor, a (mágneses) vektorpotenciál rotációjaként. (SI egysége: T/m = Vs/m) Mivel div rot A = 0, ezek szerint

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \mathbf {A}$

A vektorpotenciált a mezőt gerjesztő áramok (áramsűrűségek) határozzák meg:

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,$

Elektromos vektorpotenciál

Az elektromos térerősség kifejezhető az $\mathbf {A} =\mathbf {A} (r,t)$ elektromos vektorpotenciál rotációjának és az U elektrosztatikus potenciál gradiensének összegeként:

$\mathbf {E} =-\partial _{t}\mathbf {A} -\nabla U$

A forrásmentesség miatt

$\mathrm {div} \ \mathbf {B} =0$     és

$\mathrm {div} \ \mathrm {rot} \ \mathbf {A} =0$.

Ezeket egymásból kivonva, közös divergenciába írva:

$\mathrm {div} \ (\mathbf {B} -\mathrm {rot} \ \mathbf {A} )=0$

teremt kapcsolatot $\mathbf {B} (r)$ és $\mathbf {A} (r)$ között.

Ebből

$\mathbf {B} =\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$

vagyis $\mathbf {B}$ az örvénysűrűsége $\mathbf {A}$-nek, ahol az $\mathbf {A}$ örvénymező az elektromos vektorpotenciál, aminek csak időben változó elektromos terekben van értelme.

Mértékszabadság

A Maxwell-egyenletek elektromos és mágneses erőtereit származtathatjuk a skalárpotenciálból (elektrosztatikus potenciálból) és a vektorpotenciálból (mágneses vektorpotenciál). Ezek a potenciálok azonban nem szigorúan meghatározott mennyiségek. Régóta ismert, hogy az elektrosztatikus potenciálhoz hozzá lehet adni egy tetszőleges állandó mennyiséget, ezzel mintegy eltolva a helyzeti energia nullpontját. Az elektromos erőtér és a Maxwell-egyenletek változatlanok maradnak.

Ennél általánosabb szabadság is létezik a potenciálok megválasztásában. Tetszőleges hely- és időfüggésű $\psi (\mathbf {x} ,t)$ függvényből kiindulva ennek gradiensét a vektorpotenciálhoz adva, ugyanakkor az inverz fénysebességgel szorzott parciális időderiváltját a skalárpotenciálból levonva az erőterek és a Maxwell-egyenletek változatlanok maradnak. Ezt hívjuk az elektrodinamika mértékszabadságának, a felvázolt transzformációt pedig mértéktranszformációjának.

Források

• ↑ Fizikai kislexikon: Fizikai Kislexikon. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. 963 10 1695 1 (1977)