Vektorpotenciál (fizika)

A vektorpotenciál az elektrodinamikában az a vektormennyiség, amelynek rotációja a mágneses indukció.

Mágneses vektorpotenciál

Az időben állandó áramok által létrehozott stacionárius mágneses teret leíró egyenletek lineáris és izotróp közegben a Maxwell-egyenletek megfelelő egyszerűsítésével:

$\operatorname {rot} {\mathbf {H} }={\mathbf {j} }$$\operatorname {rot} {\mathbf {H} }={\mathbf {j} }$

$\operatorname {div} {\mathbf {B} }=0$$\operatorname {div} {\mathbf {B} }=0$

${\mathbf {B} }=\mu {\mathbf {H} }$${\mathbf {B} }=\mu {\mathbf {H} }$

ahol a H a mágneses térerősség, B a mágneses indukció, j az áramsűrűség, és µ a közeg permeabilitása, amelyről feltételezzük, hogy térrészenként állandó. Mivel H nem örvénymentes, ezért nem állítható elő egy egyértékű skalár potenciál gradienseként. Általános esetben B indukciójú mágneses mezőt az A vektorpotenciállal jellemezhetünk. Bármely divergenciamentes B vektor előállítható egy alkalmas A vektor, a vektorpotenciál divergenciájaként (nevezik mágneses vektorpotenciálnak is, SI egysége: T/m = Vs/m), hiszen a div rot A = 0, ezek szerint

$~B=\operatorname {rot} A$$~B=\operatorname {rot} A$

A vektorpotenciált a mezőt gerjesztő áramok (áramsűrűségek) határozzák meg:

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,$$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,$

Elektromos vektorpotenciál

Az elektromos térerősség kifejezhető $Z=Z(r)$$Z=Z(r)$ elektromos vektorpotenciál rotációjának és az elektrosztatikus potenciál gradiensének összegeként:

$\mathbf {E} =\nabla \times \mathbf {Z} +\nabla V$$\mathbf {E} =\nabla \times \mathbf {Z} +\nabla V$

A forrásmentesség miatt

$\mathrm {div} \,\mathbf {D} =0$$\mathrm {div} \,\mathbf {D} =0$

$\mathrm {div} \,\mathbf {E} =0$$\mathrm {div} \,\mathbf {E} =0$       és

$\mathrm {div} \,\mathrm {rot} \,\mathbf {F} =0$$\mathrm {div} \,\mathrm {rot} \,\mathbf {F} =0$.

Innen némi számolással

$\mathrm {div} \,(\mathbf {D} -\mathrm {rot} \,\mathbf {F} )=0$$\mathrm {div} \,(\mathbf {D} -\mathrm {rot} \,\mathbf {F} )=0$

teremt kapcsolatot $\mathbf {D} (r)$$\mathbf {D} (r)$ és $\mathbf {F} (r)$$\mathbf {F} (r)$ között.

Ebből

$\mathbf {D} =\mathrm {rot} \,\mathbf {F}$$\mathbf {D} =\mathrm {rot} \,\mathbf {F}$

vagyis $\mathbf {D}$$\mathbf {D}$ örvénysűrűsége $\mathbf {F}$$\mathbf {F}$-nek, ahol az $\mathbf {F}$$\mathbf {F}$ örvénymező az elektromos vektorpotenciál, aminek csak időben változó elektromos terekben van értelme.

Források

• ↑ Fizikai kislexikon: Fizikai Kislexikon. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. 963 10 1695 1 (1977)