Kúp

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egyenes és ferde kúp

A matematikában a kúpok gúlaszerű térbeli testek. A kúp alapja kör vagy ellipszis, palástját a csúcsot az alap határpontjaival összekötő egyenes szakaszok, az alkotók uniója alkotja. Megkülönböztethetünk egyenes és ferde kúpokat aszerint, hogy a csúcs merőleges vetülete az alapra egybeesik-e az alap középpontjával. Kúp alatt leggyakrabban az egyenes, kör alapú kúpokat értik. A kúpot az alapjával párhuzamos síkkal elmetszve csonka kúpot kapunk.

Képletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Térfogat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölje b a kúp alapjának a területét, s legyen h a magassága. Ekkor a térfogat az alábbiak szerint számítható:

V = \frac{1}{3} b h

Speciálisan, ha a kúp kör alapú, akkor r-rel jelölve a kör sugarát, így részletezhető a formula:

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

A másik esetben, ha az alap elliptikus, akkor pedig az ellipszis sugarait r_1 és r_2 szimbólumokkal jelölve a következőképpen:

V = \frac{1}{3} \pi r_1 r_2 h

Felszín[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kúp felszíne az alap és a palást területének összege. Az egyenes, köralapú kúp esetében erre adható egyszerű képlet:

A = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2}

Beírható gömb sugara[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyenes körkúpba írható gömb ρ sugarának képlete:

 \rho = \frac{3V}{A}

ahol A jelöli a kúp felszínét, V pedig a térfogatát.[1]

Egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kúp paramétervonalakkal

A h magasságú és \vartheta fél nyílásszögű kúp, aminek forgástengelye a z tengely, csúcsa az origó, így paraméterezhető:

S(s,t,u) = \left(u \mathrm{tg} s \cos t, u \mathrm{tg} s \sin t, u \right)

ahol s,t,u rendre a [0,\vartheta), [0,2\pi), és [0,h] intervallumokba esik.

Ugyanez a test implicit az

\{ S(x,y,z) \leq 0, z\geq 0, z\leq h\}

egyenlőtlenségekkel adható meg, ahol

S(x,y,z) = (x^2 + y^2)(\cos\vartheta)^2 - z^2 (\sin \vartheta)^2.\,

Általánosabban a d vektorral párhuzamos forgástengelyű origó csúcsú körkúp, aminek fél nyílásszöge \vartheta az S(u) = 0 vektoregyenlettel adható meg, ahol

S(u) = (u \cdot d)^2 - (d \cdot d) (u \cdot u) (\cos \vartheta)^2   vagy   S(u) = u \cdot d - |d| |u| \cos \vartheta

ahol u=(x,y,z), és u \cdot d skalárszorzat.

Az egyenes körkúp mint forgástest[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyenes körkúp forgástestként is generálható egy AB szakaszt elforgatva annak pontosan egy végpontján áthaladó egyenes körül. Ebben az esetben az AB szakaszt nevezik a kúp alkotójának is. Ekkor fennáll az alábbi egyenlőség:

Az egyenes körkúp konstrukciója forgástestként
|AB|^2 = h^2 + r^2\,

Lineáris algebra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lineáris algebrában egy ponthalmaz kúp, ha zárt a nem negatív számmal való szorzásra.

Egy kúp végesen generált, ha minden pontja előáll véges sok vektor lineáris kombinációjaként. Egy kúp metszetkúp, ha előáll véges sok féltér metszeteként. Ebből azonnal következik, hogy metszetkúp mindig konvex. Megmutatható, hogy metszetkúp mindig generált kúp, továbbá ha egy végesen generált kúp konvex, akkor metszetkúp.

A térfogat- és felszínképletek bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Térfogat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az elemi geometriában gyakran a Cavalieri-elvet használják: veszünk egy ugyanakkora alapterületű és magasságú gúlát. Az alappal párhuzamosan szeletelve a két testet középpontos hasonlósággal adódik, hogy az ugyanolyan magasságú szeletek területe egyenlő. Ezért a két test térfogata egyenlő.

A T alapterületű és h magasságú gúla térfogata

V = \frac{1}{3} \cdot T \cdot h

Ez alapján a kúp térfogata

V = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h.

A kúp alapterülete növekvő oldalszámú sokszögekkel is közelíthető.

Egy másik bizonyítás az integrálszámítást hívja segítségül. A derékszögű koordináta-rendszerben a kúp csúcsát az origóba, és az alapkör középpontját a (h,0) pontba teszi. Ezután a kúpot, mint végtelen sok lapos, dx magasságú hengerből összetett forgástestet tekinti. A párhuzamos szelők tételével:

Egy infinitezimális henger sugara:

r_Z(h) = \frac{r}{h} \cdot x

Egy infinitezimális henger térfogata:

\left(\frac{r}{h} \cdot x\right)^2 \cdot \pi \cdot dx = \frac{r^2}{h^2} \cdot \pi \cdot x^2 \, dx

A forgáskúp térfogata megegyezik ezeknek a hengereknek a térfogatösszegével. Ezt határozott integrállal számítja ki, ahol a határok 0 és h:

V = \int_0^h \frac{r^2}{h^2} \cdot \pi \cdot x^2 \, dx = \frac{r^2 \cdot \pi}{h^2} \cdot \int_0^h x^2 \, dx
V = \frac{r^2 \cdot \pi}{h^2} \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]^h_0
V = \frac{r^2 \cdot \pi}{h^2} \cdot \left(\frac{h^3}{3}-\frac{0^3}{3}\right)
V = \frac{r^2 \cdot \pi}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3}

Így jut az ismert

 V=\frac{r^2 \cdot \pi \cdot h}{3} = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h

képlethez.

A kúppalást felszíne[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyenes körkúp palástja görbült, de kiteríthető körcikké. Ennek sugara megegyezik a kúp alkotójának hosszával (s). A körcikk α középponti szöge arányegyenlettel számítható: a középponti szög úgy aránylik a teljesszöghöz, mint az alapkör 2πr kerülete az s sugarú kör teljes kerületéhez:

\alpha : 360^\circ = (2 \pi r) : (2 \pi s) = r : s

ahol s=\sqrt{r^2+h^2} a kúp alkotója és a körcikk sugara.

A kúppalást felszíne eszerint a körcikk területképletéből adódóan

A_P = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot s^2 \cdot \pi = \frac{r}{s} \cdot s^2 \cdot \pi = r s \pi


Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Strohmajer János: Geometriai példatár II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1982. 21. oldal 38-as feladat.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]