Forgástest

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Forgástest felszíne
Forgástest térfogata

Forgástest olyan geometriai test, mely egy síkidom síkjában fekvő, azt nem metsző egyenes, mint tengely körüli megforgatásából származtatható. A forgástest az a test, melyet a síkidom forgatása közben súrolt felület és az alapkörlap, valamint a fedőkörlap határol.

Szigorúbb definíció szerint forgástestek a hengerszimmetrikus testek. Forgásszimmetrikusnak az olyan alakzatot nevezik, melynél van olyan elforgatás, mely az alakzatot önmagába viszi át. A teljes forgásszimmetria esetén az alakzat helyzetét a forgástengely körül végrehajtott semmilyen elforgatás nem változtatja meg. Ezt térbeli alakzatnál hengerszimmetrikus alakzatnak nevezik. A hengerszimmetrikus testek a forgástestek.

A számítógéppel segített tervezőrendszerek (CAD) forgástestnek nevezik azokat a geometriai testeket is, melyeket egy síkidom tetszőleges szöggel való, tehát nem teljes megforgatásakor súrol. Ezek a szigorúbb definíció szerint nem forgástestek.

A forgástest olyan síkmetszetét, mely tartalmazza a szimmetriatengelyt, meridiánmetszetnek nevezik.

A forgástest térfogata[szerkesztés]

Legyen a meridiángörbe egy f(x) folytonos, nem negatív függvény az a≤x≤b tartományban. Ha a forgástengely az x tengely, akkor a keletkező forgástest térfogata:

A forgástest felszíne[szerkesztés]

Az f(x): , az [a;b]-n folytonos függvény esetén a

integrál adja az f(x) függvény x tengely körüli elforgatásával kapott forgástest palástjának területét. (Így a forgásfelület felszínét is meghatározhatjuk tehát.)

A Pappus–Guldin-tételek[szerkesztés]

A forgástestek térfogatát és felszínét a Pappus–Guldin-tételek segítségével a következőképpen lehet kiszámolni: Ezek szerint a felszín egyenlő a származtató síkidom s kerületének és annak C súlypontja rs.2π útjának a szorzatával:

A forgástest térfogata pedig egyenlő a származtató síkidom (meridiánmetszet) A területének és a meridiánmetszet CA súlypontja Rs.2π útjának szorzatával:

Példák forgástestekre:

Forrás[szerkesztés]

  • Hajós György: Bevezetés a geometriába Kilencedik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. ISBN 963 18 31736
  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091