Gábriel harsonája

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Gábriel harsonája egy végtelen felszínű, de véges térfogatú test, amelyet Evangelista Torricelli olasz matematikus fedezett fel.

A Harsona
Térbeli modell

Matematikai jellemzők[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A test az  y = {\frac1{x}} görbe  x \ge 1 részének háromdimenziós, x tengely körüli elforgatásával keletkezik. A kürt felszinének és térfogatának 1 és a \ge 1 közé eső része integrálszámítás segítségével (lásd improprius integrál) kiszámítható:

Felszín[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A felszín 1 és a között:

A_a = 2\pi \int \limits _1^a \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x > 2\pi \int \limits _1^a \frac{\sqrt{1}}{x}\ \mathrm{d}x = 2\pi \ln a

a tetszőlegesen nagy lehet, így:

A = \lim_{a \to \infty} A_a = \lim_{a \to \infty} 2\pi \ln a = \infty

Térfogat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Résztérfogat:

V_a = \pi \int \limits _{1}^{a} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi \left( 1 - {1 \over a} \right)

a \to \infty :

V = \lim_{a \to \infty} V_a = \lim_{a \to \infty}\pi \left( 1 - {1 \over a} \right) = \pi

azaz végtelenbe tartva a térfogat \pi-hez konvergál, viszont a felszínre nincs felső korlát.

Felfedezésekor paradoxonnak tartották, hogy egy végtelen területet az x tengely körül forgatva véges térfogat kapható.

Magyarázat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Amikor a görbét x tengely körül elforgatva térfogatot és felszínt számolunk, az olyan mintha a keresztmetszeti körök területét és kerületét összegeznénk, a területekből a térfogat, a kerületekből a felszín adódik.

T = \pi { 1 \over x^2} \ll 2 \pi{ 1 \over x} = K

Azaz ahogy x tart a végtelenbe, a  \pi {1 \over x^2} kifejezés nagyságrendekkel lassabban nő, mint a  2 \pi {1 \over x}

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]