Tórusz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Tórusz
Rácsmodellel szemléltetett tórusz

A tórusz egy forgástest, amely egy körlemezt egy vele komplanáris tengely körül elforgatva generálható. Tórusz alakú például a hulahop karika és a kerékpár kereke.

Képletek[forrásszöveg szerkesztése]

Egyenletek[forrásszöveg szerkesztése]

A tórusz egy lehetséges parametrizálása:[1]

ahol 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ < 2π.

Jelölje a generáló kör sugarát, s jelölje a forgástengely és a kör középpontjának távolságát. Ekkor a tórusz pontjai az alábbi egyenlőtlenségnek tesznek eleget:

Ebből gyöktelenítéssel adódik ez az ekvivalens formula:

Térfogat[forrásszöveg szerkesztése]

Felszín[forrásszöveg szerkesztése]

Topológia[forrásszöveg szerkesztése]

A tórusz, mint két kör szorzata

A tórusz topológiai szempontból zárt felület, ami két körvonal szorzataként írható le: S1 × S1.

A síkból tórusz kapható a következő reláció szerinti azonosítással:

(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1).

Egy négyzet két-két szemben fekvő oldalpárjának azonosításával szintén tóruszt kapunk. Ezt nevezik lapos tórusznak.

A tórusz fundamentális csoportja a két kör fundamentális csoportjának direkt szorzata:

Ha a tóruszt egy rajta ejtett lyukon át kifordítják, akkor újra tóruszt kapnak, aminek a szélességi és hosszúsági vonalai megcserélődtek.

A tórusz első homológiacsoportja izomorf a tórusz fundamentális csoportjával. Ez következik a Hurewicz-tételből, mivel a fundamentális csoport Abel.

A tórusz szeletelése[forrásszöveg szerkesztése]

Egy tórusz n síkkal legfeljebb részre darabolható. Ez az egész számok egy különleges sorozata.[2] (A003600 sorozat az OEIS-ben) A sorozat első tagjai: 1, 2, 6, 13, ha n 0-tól kezdődik.

Színezés[forrásszöveg szerkesztése]

Egy tóruszon levő térképet mindig ki lehet színezni legfeljebb hét színnel úgy, hogy a szomszéd területek színe különböző. Lásd még: négyszín-tétel a síkon.

Az ábra hét, egymást kölcsönösen érintő területet mutat

Általánosítás[forrásszöveg szerkesztése]

A tórusz általánosítható magasabb dimenziókra is. Ezek az n dimenziós tóruszok, röviden n-tóruszok. Az eddigi tórusz a 2-tórusz.

Az n dimenziós tórusz előáll n kör topologikus szorzataként:

Az 1-tórusz a kör; a 2-tórusz ismert. A 3-tóruszt nehéz szemléltetni.

Az általánosított tóruszt ugyanúgy le lehet írni Rn hányadostereként, mint a 2-tóruszt. Ez Rn hányadoscsoportja a Zn rács hatása szerint, ahol Zn eltolással (összeadással) hat. Az n-tórusz megkapható úgy is, hogy azonosítjuk egy hiperkocka egymással szemben fekvő lapjait.

Az n-tórusz fundamentális csoportja n rangú szabad Abel-csoport, k-adik homológiacsoportja rangú szabad Abel-csoport. Ennek következménye, hogy az n-tórusz Euler-karakterisztikája minden n-re 0.

Források[forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Torus témájú médiaállományokat.