Fundamentális csoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A fundamentális csoport egy matematikai, azon belül algebrai topológiai fogalom. Egy topologikus tér valamennyi pontjához hozzárendelhető a fundamentális csoport, amely a pontot tartalmazó komponens 1 dimenziós szerkezetét írja le. A fundamentális csoport az első homotópia csoport.

Szemléltetés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsünk egy teret, és azokat az utakat, amelyek egy rögzített pontból indulnak, és visszatérnek oda. Két ilyen utat egymás után lehet fűzni, azaz először az egyiket járjuk végig, utána a másikat. Egy utat visszafelé is végigjárhatunk. Ezekre az utakra úgy is tekinthetünk, mintha cérnából lennének, ekkor két utat azonosnak tekintünk, ha az egyik cérnát át lehet mozdítani a téren belül a másik helyzetébe. Például a síkon minden ilyen út behúzható teljesen az origóba, majd vissza egy másikba. Viszont ha kilyukasztjuk a síkot az origóban, és a cérna megkerüli azt a lyukat, akkor ezt a hurkot nem lehet behúzni, tehát nem lesz azonos az egy helyben maradó úttal (ahol nem mozdulunk el az út során a kezdőpontból).

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen X egy topologikus tér, és x_0 egy pontja. Egy f:[0,1]\to X folytonos leképezést x_0 kezdőpontú huroknak nevezünk, ha f(0)=f(1)=x_0. Két ilyen hurkot, jelölje őket f és g, azonosnak tekintünk, ha létezik egy h:[0,1]\times [0,1]\to X folytonos leképezés, amelyre fennállnak a következők: h(t, 0)=f(t), h(t, 1)=g(t), h(0, t)=h(1,t)=x_0, ahol t tetszőleges pontja a [0,1] intervallumnak. Ezt a h leképezést homotópiának hívjuk, az f és g függvények homotopikusan ekvivalensek, és egy homotópia osztályhoz tartoznak. A fundamentális csoport elemei ezek a homotópia osztályok.

Ahhoz, hogy csoportstruktúrát kapjunk, értelmeznünk kell a csoportműveleteket: a szorzást, az egységet és az inverzet. Legyen f és g két reprezentánsa két homotópia osztáynak. Ekkor (f*g)(t)=f(2t), ha t\in[0,1/2], és (f*g)(t)=g(2t-1), ha t\in[1/2,1] lesz a szorzatuk egy reprezentánsa. Az inverz és az egység definíciója egyszerűbb: f^{-1}(t)=f(1-t), és i(t)=x_0 az egység.

A fundamentális csoportot \pi_1(X, x_0)-lal jelöljük. Amennyiben a topologikus tér útszerűen összefüggő, minden pontjában azonos a fundamentális csoport, ekkor \pi(X)-szel jelóljük.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. \mathbf{R}^n (vagy tetszőleges konvex részhalmazának) fundamentális csoportja triviális, azaz minden hurok homotopikusan ekvivalens az egységelemmel: a h(t, s)={f(t)\over s} „összehúzza” az f hurkot a 0-ba. Az ilyen tereket, ahol a fundamentális csoport triviális, egyszeresen összefüggőnek hívjuk.
  2. S^1, azaz a kör fundamentális csoportja \textbf{Z}, azaz az egész számok csoportja az összeadásra nézve. Ugyanis bármely k egész számhoz elkészíthető a körön k-szor körbefutó hurok, értelemszerűen 0-hoz a nem körbefutókat, negatív számokhoz pedig azt a hurkot rendelve, ami annyiszor „visszafelé” futja be a kört. Ha egy k-szor és egy l-szer körbefutó hurkot összefűzünk, k+l-szer körbefutó hurkot kapunk. ( Ne feledjük, hogy a negatív és pozitív számot ellentétes körbefutási irányt jelentenek. )
  3. \mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}, azaz az origóban kilyukasztott sík fundamentális csoportja szintén \textbf{Z}. Beláthatjuk, hogy a kilyukasztott sík fundamentális csoportja megegyezik a kör fundamentális csoportjával, hiszen az a paraméter, hogy milyen távol van egy pont az origótól, itt nem érdekes, csak a szög számít. Szemléletesen úgy gondolhatunk rá, hogy képzeljük el, mit láthat valaki az origóból nézve az útból. Ilyenkor csupán annyit lát, hogy milyen szögben áll egy pont a pozitív tengelyhez viszonyítva, a távolságot nem. Tehát az egész síkból pontosan azt látja, mintha egy origó középpontú kör volna. Az ilyen jellegű azonosságokat, mint a lyukas sík és a kör között, homotopikus ekvivalenciának hívjuk.
  4. Nem minden fundamentális csoport kommutatív: egy gráf mint topologikus tér (CW-komplexus) fundamentális csoportja mindig szabad csoport.

Tulajdonságok és alkalmazásuk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Függés az összefüggőségi komponenstől[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fundamentális csoport valójában nem a bázisponttól, hanem annak összefüggőségi komponensétől függ.

Ugyanis, ha a p pontról áttérünk a q pontba, akkor p és q között van út. Először végigmegyünk ezen az úton p-ből q-ba, majd végigmegyünk a fundamentális csoport p-hez kapcsolódó elemén, végül visszamegyünk a q pontba azon az úton, amin jöttünk. Kapjuk, hogy a q-beli fundamentális csoport tartalmazza a p-beli fundamentális csoport egy konjugáltját, ami izomorf a p-beli fundamentális csoporttal. Hasonlóan, a p-beli fundamentális csoport tartalmaz egy, a q-beli fundamentális csoporttal izomorf csoportot. Ez csak úgy lehet, hogy a két csoport izomorf.

A van-Kampen-tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel kimondja, hogy egymást átfedő részhalmazok fundamentális csoportjából kiszámítható az összefüggőségi komponens fundamentális csoportja.

Legyen X=X1∪X2, X1 és X2 relatív nyílt X-hez. Továbbá ne legyenek diszjunktak, és legyen X1, X2 és X1∩X2 útösszefüggő. Legyen x0∈X1∩X2, és legyen X1 fundamentális csoportja prezentálva a G1 generátorokkal, és az R1 relátorokkal. Hasonlóan legyen X2 fundamentális csoportja prezentálva a G2 generátorokkal, és az R2 relátorokkal.

Ekkor X fundamentális csoportja prezentálható így:

Π1(X,x0)=F(G1∪G2/<R1∪R2∪R12>)

ahol R12={i1*(α)=i1*(β)|∀α∈Π1(X1∩X2,x0)}

ahol i1 és i2 beágyazások X1-ből és X2-ből X-be.

Homológia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fundamentális csoportok nem mindig Abelek. Lefaktorizálva a kommutátorcsoportjukkal viszont már Abel-csoportot kapunk, az első homológiacsoportot.

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fundamentális csoportokkal belátható a Borsuk-tétel, a Brouwer-féle fixponttétel, és a sündisznótétel.

Mindezek mellett a fundamentális csoport egyes tulajdonságaiból következtetni lehet a topologikus tér egyes tulajdonságaira. Például, ha egy sokaság fundamentális csoportja véges, akkor a sokaság nem metrizálható olyan metrikával, aminek görbülete sehol sem pozitív. A gömb az egyetlen zárt felület, aminek fundamentális csoportja triviális.

Általánosítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fundamentális csoport az első homotópiacsoport. Hurkok helyett n dimenziós gömböket véve és azokból csoportot alkotva kapjuk az n-edik homotópiacsoportot.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]