Derékszögű háromszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Egy derékszögű háromszög: a c oldal az átfogó , az a és b oldalak pedig a befogók.

A síkmértanban a derékszögű háromszög az a háromszög, amelynek az egyik szöge derékszög (mértéke π / 2 radián vagy 90 °). A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezik, és ez a legnagyobb. A másik két oldalt befogónak nevezzük.

Általános adatok[szerkesztés]

  • A két hegyesszög összege 90 °- ez a pótszögek tétele is egyben.
  • A átfogóra húzott oldalfelező az átfogót két egyenlő részre osztja.
  • Bármely derékszögű háromszög körbeírható, a körülírt kör középpontja az átfogó közepén található.
  • Minden derékszögű háromszög ortocentruma a derékszög tetején található.

Magasságtételek[szerkesztés]

Az első magasságtétel[szerkesztés]

Jelölések a megfogalmazott tételekhez.

Egy derékszögű háromszögben az átfogóra húzott magasság hossza a befogók átfogóra eső vetületeinek mértani vagy geometriai középértéke/ átlaga.

 vagy

ahol a CD az átfogónak megfelelő magasság, az AD és a BD pedig a befogók átfogóra eső vetületei (lásd a szomszédos ábrát).

A második magasságtétel[szerkesztés]

Az átfogónak megfelelő magasság és az átfogó szorzata egyenlő a befogók szorzatával, azaz ha az ABC egy derékszögű háromszög, C = 90 ° (lásd a szomszédos ábrát), és a CD merőleges az AB -re, akkor érvényes:

A befogótétel[szerkesztés]

A derékszögű háromszögben minden befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső vetületének szorzatával.

Legyen ABC egy háromszög, amelynek C szöge = 90 ° és CD merőleges az AB -re (lásd a fenti ábrákat). Ekkor felírható, hogy :

 vagy

Szögek[szerkesztés]

A 45 °-os szög tétele[szerkesztés]

Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 45 °,ebből következően a másik is 45° , így az átfogóra húzott magasságvonal hossza az átfogó felével egyenlő .

A 30 ° -os szög tétele[szerkesztés]

Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 30 °, az ezzel a szöggel szemben fekvő befogó hossza megegyezik az átfogó hosszának felével.

A 15 °-os szög tétele[szerkesztés]

Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 15 °, a 15 ° szöggel szembeni magasság hossza az átfogó hosszának a negyede.

Területszámítási képletek[szerkesztés]

  • Egy derékszögű háromszög területe egyenlő a befogók szorzatának felével.

Pitagorasz -tétele a derékszögű háromszögre[szerkesztés]

Pitagorasz tételének illusztrációja

Pitagorasz tétele : "a befogók hosszai négyzeteinek összege megegyezik az átfogó hosszának négyzetével ." Ez ábrázolható az ABC derékszögű háromszögben, ahol AB az átfogó, C pedig a derékszög (lásd a fenti ábrák jelöléseit). Püthagorasz tétele kimondja, hogy:

Állandó arányok a derékszögű háromszög elemei között[szerkesztés]

A derékszögű háromszögben a szögek és az oldalak közt állandó arányok állnak fenn, ezek: a szinusz, a koszinusz, a tangens, a kotangens. Amennyiben a szögek változhatnak ezek független változókként ún. trigonometriai függvényeket hívnak életre.

A szög mértékének szinuszát a szöggel szemben fekvő befogó és az átfogó hányadosa adja meg:
A szög mértékének koszinusza a szög melletti befogó és az átfogó hosszának hányadosa :
A szög mértékének tangense a szöggel szemben lévő befogó és a szög melletti befogó hosszainak hányadosa:
A szög kotangense a szög melletti befogó és a szöggel szemben fekvő befogó hányadosa:

Legyen X egy szög mértéke, és (90 ° -X) a kiegészítő szögének mértéke. Ezután a következő összefüggések adódnak, az I. negyedben:

Trigonometrikus függvényértékek 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° és 90 ° szögek esetén[szerkesztés]

Szinusz
Koszinusz
Tangens + végtelen
Kotangens + végtelen

Szögek értékei közti összefüggések[szerkesztés]

    
    
    
    

Alapvető trigonometriai képletek[szerkesztés]

A trigonometria alapvető képlete

Könyvészet[szerkesztés]

  • Obádovics József Gyula: Matematika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972
  • Nicolae Bourbăcuț. Triunghiul dreptunghic in planul complex. Gazeta Matematică-B,nr.12/2011