Parciális derivált

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben parciális deriváltnak nevezzük a többváltozós függvények olyan deriváltját, amikor a függvényt egy rögzített változójának függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a többi változójelet konstans értéknek tekintjük. A többváltozós függvények parciális deriváltja az egyváltozós differenciálás hasznos általánosítása, a Fréchet-deriválttal együtt. Ha nem csak a szokásos módon, az Rn térben és annak n kitüntetett iránya mentén kívánjuk értelmezni a parciális derivált fogalmát, akkor két módon általánosíthatjuk. Az egyik az iránymenti derivált, a másik a lokálisan kompakt terekben alkalmazható Gateaux-derivált.

Definíció[szerkesztés]

Adott, nyílt halmazon értelmezett

n változós valós értékű függvény x1 változó szerint parciálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy rögzített

pontjában, ha az egyváltozós

(ú. n. parciális-) függvény differenciálható az u1 helyen. Ekkor az előbbi parciális függvény u1-beli deriváltját az f függvény x1 szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Hasonlóképpen értelmezhető az x2, x3, … , xn szerinti parciális derivált, mely rendre az f(u1 , ,u3,…,un), f(u1,u2, ,u4, …, un), … , f(u1, u2,…, ) parciális függvények deriváltjai.

Jelölés[szerkesztés]

Ha az f függvény értelmezési tartományának minden alkalmas pontjához hozzárendeljük az ottani parciális deriváltat, akkor szintén egy többváltozós függvényhez jutunk. A parciális derivált függvényeknek elég sok jelölésük van, melyek mindegyike adott esetben lényegesen megkönnyítheti az írásmódot. Az x1, x2, … , xn vagy x, y, z, …, w változóktól függő f függvény parciális derivált függvényei:

, , … , ,
, , … , ,
, , , … , ,
, , , … ,
Egy z = f(x,y) kétváltozós függvény parciális deriváltjai egy adott (x0, y0) pontban a változókhoz tartozó parciális függvények deriváltjaiként értelmezhetők. A függvénygrafikonból ez geometriailag úgy származtatható, hogy az x = x0 illetve az y = y0 egyenletű síkokkal elmetsszük a függvény által meghatározott felületet és a keletkezett görbéknek, mint egyváltozós függvényeknek meghatározzuk a deriváltjait a keresett pontban. (Az ábrán az f(x,y)= sin(x2+y2)/(x2+y2), f(0,0)=1 függvény grafikonja látható, és az (1,-1) ponthoz tartozó f( . ,-1) és f(1, . ) parciális függvények.)

Deriválási szabályok[szerkesztés]

Linearitás:
Szorzat:
Projekciófüggvények: /Kronecker-delta/
Függvénykompozíció: ,

ahol φ:RR differenciálható, F: RmRn komponensfüggvényenként parciálisan differenciálható függvény.

Példa[szerkesztés]

Az adott térfogatú téglatestek közül melyiknek a legkisebb a felszíne, tehát milyen legyen a téglatest a, b és c éle, hogy eleget tegyen a

feltételnek?

Az első egyenletből a=V/(bc). Ezt a felszín képletébe írva a következő kétváltozós függvényt kapjuk:

Ennek kell megkeresni a minimumát, mely ha elképzeljük a kétváltozós függvényt, akkor olyan pont, ahol a felülethez rajzolt érintősík „vízszintes”. Ez viszont pont akkor van, amikor a parciális függvények érintői szintén mindketten „vízszintesek”, azaz ahol teljesül: ∂bA = 0 és ∂cA = 0, tehát:

és

ahonnan V = b2c = bc2, vagyis c = b és V = b3, ez viszont azt jelenti, hogy a = b = c, azaz a keresett test a V térfogatú kocka.

Kapcsolat a teljes differenciállal[szerkesztés]

Ha egy f:RnR függvény totálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, akkor abban a pontban minden parciális deriváltja létezik. Ez ugyan megfordítva nem teljesül, de a teljes differenciálhatóságnak egyfajta elégséges feltételét megfogalmazhatjuk. Ha az u pontban az összes parciális derivált létezik és legfeljebb egy kivételével a parciális derivált függvények folytonosak u-ban, akkor f totálisan differenciálható.

A parciális deriváltak arra is jók, hogy felírhassuk segítségükkel a differenciál leképezés mátrixát. A differenciál mátrixa a Jf(u)ik=∂kfi(u) Jacobi-mátrix lesz, ahol fi függvény az f:RmRn függvény i-edik komponensfüggvénye.

Források[szerkesztés]