Szorzatszabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a szorzatszabály alkalmazásával két, vagy több függvény szorzatának a deriváltját lehet kiszámítani.

Egy lehetséges jelöléssel:

vagy a Leibniz-féle jelöléssel:

.

továbbá:

.

A három függvény szorzatának deriváltja:

.

Leibniz felfedezése[szerkesztés]

A szorzatszabály felfedezését Gottfried Wilhelm Leibniznek tulajdonítják, bár Child (2008) szerint Isaac Barrow nevéhez fűződik a felfedezés. Leibniz érvelése: Legyen u(x) és v(x) x két differenciálható függvénye. Ekkor uv differenciálja:

Mivel dudv kifejezések (du-hoz és dv-hez képest) „elhanyagolhatók”, Leibniz arra a megállapításra jutott, hogy:

és ez valóban a szorzatszabály differenciál alakja. Ha végig osztunk dx-szel, kapjuk:

mely ilyen alakba is írható:

Példák[szerkesztés]

  • Tegyük fel, hogy differenciálni akarjuk a ƒ(x) = x² sin(x) függvényt. A szorzatszabályt alkalmazva kapjuk:

ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (mivel x² deriváltja: 2x, és sin(x) deriváltja: cos(x)).

  • Speciális eset az úgynevezett „konstans szorzási szabály”, mely azt állítja: ha van egy c valós számunk, és egy ƒ(x) differenciálható függvény, akkor (x) is differenciálható, és a derivált: (c × ƒ)'(x) = c × ƒ '(x). Ez a szorzatszabályból következik, mivel egy konstans deriváltja zéró. Ezt kombinálva a deriváltak szumma-szabályával, mutatja, hogy a differenciálás lineáris.
  • A részenkénti integrálás szabálya levezethető a szorzatszabályból, mivel ez a hányadosszabály (annak gyenge változata). Azért „gyenge” változat, mert nem igazolja, hogy a hányados differenciálható, csak azt mondja, egy van egy deriváltja, ha az differenciálható.

Általános hiba[szerkesztés]

Egy általánosan előforduló hiba, ha feltételezzük, hogy (uv) deriváltja egyenlő (u ′)(v ′).

Kezdetben, Leibniz maga is elkövette ezt a hibát[1] annak ellenére, hogy világos ellenpéldák léteznek.

Tekintsük ƒ(x) függvényt, melynek deriváltja: ƒ '(x). Ezt úgy is felírhatjuk, hogy ƒ(x) • 1, mivel az 1 neutrális elem a szorzást tekintve.

Ha fenti téves koncepció igaz lenne, akkor (u′)(v′) zérus lenne. Ez azért igaz, mert egy konstans deriváltja mindig zéró, és így a szorzat is zéró lenne.

A szorzat-szabály bizonyítása[szerkesztés]

Egy precíz bizonyítás adható a deriváltak 'Newton-féle differenciahányados határérték elméletére alapozva.

Ha

és ƒ és g differenciálható egy fix x számnál, akkor

Ekkor a különbség

azaz a nagy téglalap területe mínusz a kis téglalap területe (a lenti ábra szerint).

Szorzatszabály bizonyítása

A nagy és a kis téglalap közötti terület kettő téglalapra osztható, ennek a területnek a szummája[2]

mert:




Ezért az (1)-es kifejezés egyenlő:

Feltéve, hogy az összes használt határérték létezik, (4) egyenlő:

és most

ez igaz, mert f(x) konstans marad, ha  w → x

Ez igaz, mert a differenciálható függvény folytonos (g-ről feltételezve, hogy differenciálható), tehát:

   and   

mert f és g',' x-nél differenciálható; Ennek következtében az (5) kifejezés egyenlő:

Általánosítás[szerkesztés]

Több mint két tényező szorzata[szerkesztés]

A szorzat-szabályt általánosítani lehet több, mint két tényezőre. Például három tényezőre:

.

függvényekre:

Magasabb fokú deriváltak[szerkesztés]

A Leibniz-szabály szerint általánosítható a két tényezős szorzat-szabály n-edik deriváltjára:

Magasabb fokú parciális deriváltak[szerkesztés]

Parciális deriváltakra:

ahol az S index végig fut a {1, ..., n}, 2n alhalmazán. Ha például n=3, akkor:

Alkalmazások[szerkesztés]

A szorzat-szabály alkalmazásai között egy bizonyíték:

ahol n pozitív egész. (A szabály akkor is érvényes, ha n nem pozitív, vagy nem egész, de akkor a bizonyítás más módszerrel történik). A teljes indukció bizonyítása n-edik kitevőre. Ha n = 0, akkor xn konstans, és nxn – 1 = 0. A szabály bármely n kitevőre érvényes, és így a következő n + 1-re is:

Ha a tétel igaz n-re, akkor n + 1-re is igaz.

Tangenstér definíciója[szerkesztés]

A szorzat-szabály felhasználható az absztrakt tangenstér definiálásra is. Az a tényt használható itt, hogy egy geometria alakzat p pontján definiálni lehet valós értékű függvények deriváltjait a szorzat-szabállyal, és minden ilyen deriválás lineáris teret (vektor tér) alkot, mely a kívánt tangenstér.

Irodalom[szerkesztés]

  • Freud Róbert: Lineáris algebra. (hely nélkül): ELTE Eötvös Kiadó. 2004.  
  • Fried Ervin: 'Algebra I., Elemi és lineáris algebra'év=2000. (hely nélkül): Nemzeti Tankönyvkiadó.  
  • Kuros, A. G: Felsőbb algebra. (hely nélkül): Tankönyvkiadó, Bp. 1975.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Michelle Cirillo (2007. August). „Humanizing Calculus”. The Mathematics Teacher 101 (1), 23–27. o.  
  2. The illustration disagrees with some special cases, since – in actuality – ƒ(w) need not be greater than ƒ(x) and g(w) need not be greater than g(x). Nonetheless, the equality of (2) and (3) is easily checked by algebra.