Lineáris egyenletrendszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris egyenletrendszer olyan többismeretlenes egyenletrendszer, ahol minden ismeretlen elsőfokon (azaz első hatványon) szerepel.

Példa[szerkesztés]

Egy m egyenletből álló és n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer:







Itt az x-ek az ismeretlenek, az a-k az ismeretlenek együtthatói, és a b-k az egyenletek konstansai.

Vektoriális alak[szerkesztés]

Az m darab egyenletet összevonhatjuk egy egyenletté, ha az együtthatók oszlopaiból m dimenziós vektorokat képzünk:

A feladat tehát úgy is értelmezhető, hogy a lineáris egyenletrendszer együtthatóiból álló oszlopvektorok olyan lineáris kombinációját keressük, amely a

vektorral megegyezik.

Mátrixos alak[szerkesztés]

A lineáris egyenletrendszer mátrixa egy olyan m×n-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatóit tartalmazza. Az előbbi egyenletrendszer mátrixa:

Ha bevezetjük a és az jelöléseket, akkor a lineáris egyenletrendszer a következő rövid alakban írható fel:

Az A mátrix és az vektor szorzata formálisan éppen a kívánt egyenleteket adja.

A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa[szerkesztés]

A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa olyan m×(n+1)-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatói mellett n+1-edik oszlopként az egyenletek konstansait is tartalmazza. Például az előző egyenletrendszer kibővített mátrixa:

Megoldása[szerkesztés]

A lineáris egyenletrendszerek megoldása a Gauss-eliminációval történik. Az

felírásból következik, hogy ha az A mátrix invertálható, akkor az egyenletrendszer megoldása

2×2-es esetben[szerkesztés]

Speciálisan az

lineáris egyenletrendszer megoldása a következő:

és

ahol a | | a determinánsképzés jele.

Határozatlan lineáris egyenletrendszerek[szerkesztés]

Vannak esetek, amikor az adott egyenletrendszer a fent említett Cramer-szabály alkalmazásával sem megoldható, de más ügyeskedések is elégtelen próbálkozások lennének, mint például a Gauss-elimináció vagy akár a Sarrus-szabály. Ilyen egyenletrendszerek azok, melyekben az ismeretlenek száma meghaladja az egyenletek számát, de az ismeretlenek száma csak annyival több, hogy egyik ismeretlen a másik (többi) segítségével meghatározható legyen. Ezeket parciálisan határozatlan egyenletrendszereknek nevezzük. Ebben az esetben alkalmazzuk az elemi bázistranszformációs módszert.