Kronecker–Capelli-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Kronecker–Capelli-tétel a lineáris algebra tétele, amely arra ad választ, hogy egy adott lineáris egyenletrendszer megoldható-e. A tétel állítása szerint egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor megoldható, ha az együtthatóiból képzett mátrix rangja megegyezik a bővített mátrixának a rangjával.

Példa[szerkesztés]

Tekinstük a következő egyenletrendszert:

x + y + 2z = 3
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 2.

Az együtthatók mátrixa

és a bővített mátrix

Mivel mindkét mátrix rangja 2, ezért létezik megoldás. Ugyanakkor a rang kisebb mint az ismeretlenek száma, ami 3, ezért végtelen sok megoldás van.

Ellenpéldaként tekintsük a következő rendszert:

x + y + 2z = 3
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 5.

ahol az együtthatók mátrixa

és a bővített mátrix

Ebben a példában az együtthatómátrix rangja 2, míg a bővített mátrix rangja 3, ezért ennek az egyenletrendszernek nincs megoldása. A lineárisan független sorok száma egyel nő a bővített mátrixban, ami inkonzisztenssé teszi az egyenletrendszert.

Lásd még[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rouché–Capelli theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Hivatkozások[szerkesztés]

  • A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975, 84. old.
  • A. Carpinteri. Structural mechanics. Taylor and Francis, 74. o (1997). ISBN 0-419-19160-7