Cramer-szabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Cramer-szabály a lineáris egyenletrendszerek egyik megoldási módja. A megoldások az egyenletrendszerből képzett mátrixok determinánsainak hányadosaiként adódnak. Nevét Gabriel Cramer (1704–1752) svájci matematikusról kapta, aki 1750-ben először általánosan megfogalmazta.

A szabály[szerkesztés]

Tekintsük a következő n darab n ismeretlenes lineáris egyenletből álló egyenletrendszert:

Ennek mátrixos felírása a következő:

ahol

Ha most Bi-vel jelöljük azokat az A-ból képzett mátrixokat, melyek i. oszlopa helyén a b vektor áll, azaz

és

akkor

minden i esetén (és 1 ≤ in). Itt a a determinánsképzést jelöli.

Bizonyítása[szerkesztés]

Mivel Ax = b, és det(A) ≠ 0, ezért A invertálható mátrix. Ekkor

ahol az adj(A) az A mátrix adjungáltját jelöli. Részletesen felírva az adjungáltat azt kapjuk, hogy

ahol az Aij az A mátrix i-edik sorához és j-edik oszlopához tartozó előjeles aldetermináns értéke. A fenti mátrixszorzást soronként elvégezve oda lyukadunk ki, hogy minden i-re

és a tört számlálójában éppen a Bi determinánsa szerepel az i. oszlopa szerint kifejtve.

Példa[szerkesztés]

Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert!

A Cramer-szabály segítségével a megoldások a következők:

Megjegyzések[szerkesztés]

  • A megoldhatóság esetei:
Ha det(A) = 0 Ha det(A) ≠ 0
Ha azaz az egyenletrendszer
homogén
Az triviális megoldás mellett további megoldások léteznek, de felkutatásukra a Cramer-szabály nem használható, más módszerek szükségesek a kiszámításukhoz, például az LU felbontás Egy triviális megoldás van, az
a Cramer-szabály használható, de felesleges
Ha azaz az egyenletrendszer
inhomogén
Az egyenletrendszernek nincs megoldása, és a Cramer-szabály nem használható Egy megoldás van és megtalálására a Cramer-szabály használható
  • Ha kevesebb egyenletünk van, mint ahány ismeretlen, akkor nem alkalmazható.
  • Nagy n-ek esetén a determinánsok kiszámolása hosszadalmas, ezért más megoldási módszereket használnak.

Külső hivatkozások[szerkesztés]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Cramer-szabály témájú médiaállományokat.