Redukciós formulák

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A redukciós formulák bizonyos alakú határozatlan integrálokra adnak rekurziót. Ezek a rekurziók gyakran jól alkalmazhatók bizonyos határozott integrálok kiszámítására.

Legfontosabb redukciós formulák[szerkesztés]

Trigonometrikus redukciós formulák[szerkesztés]

A két formula levezetése analóg, mi csak az elsőt mutatjuk be. Parciálisan integrálva:

, ahol
.

Visszaírva és, rendezve:

, ami már maga a redukciós formula.

[szerkesztés]

Hogy ezt belássuk, a számlálót írjuk át:

Parciálisan integrálva:

, amit rendezve már a kívánt formulához jutunk.

[szerkesztés]

Parciálisan integrálva kapjuk, hogy

Alkalmazások[szerkesztés]

Trigonometrikus helyettesítéseknél[szerkesztés]

Irracionális függvények határozott integráljának a kiszámításakor gyakran alkalmazhatunk olyan trigonometrikus helyettesítést, ahol az integrandusz a helyettesítés után sin, vagy cos polinomja, és a határok többszörösei. Ekkor hasznos a következő két formula, amit a redukciós formulák alkalmazásával könnyen megkaphatunk:

Racionális törtfüggvények integrálásakor[szerkesztés]

Racionális törtfüggvény primitív függvényének a meghatározásakor a függvényt parciális törtekre bontjuk. A kapott összeadandók primitív függvényét zárt alakban megkaptuk, kivéve az alakú tagokét. Hogy ezen tagok határozott integrálját is számolhassuk, redukciós formulát alkalmazunk:

Gamma-függvény[szerkesztés]

Felhasználva, hogy

,

az idevágó redukciós formulából adódik, hogy

.

A gamma-függvény szokásos definíciójával egybevetve:

Ugyanazt a parciális integrálást elvégezve, amit a vonatkozó redukciós formulánál elvégeztük kapjuk, hogy

.

Források[szerkesztés]

  • Banach, S.: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, 1967