Helyettesítéses integrálás

A helyettesítéses integrálás egy matematikai módszer függvények integráljának kiszámítására vagy primitív függvényének meghatározására.

Ez az ellenpárja a differenciálás láncszabályának.

Legyen   $I\subseteq {\mathbb {R} }$   egy intervallum, és   $g:[a,b]\to I$   egy folytonos, legalább egyszer differenciálható függvény.

Tegyük fel, hogy $f:I\to \mathbb {R}$ egy folytonos függvény, akkor:

$\int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt.$

A Leibniz-féle jelölést használva, az $x=g(t)$ behelyettesítés adja: $dx/dt=g'(t)$ és így formálisan $dx=g'(t)\,dt$, mely a kívánt behelyettesítés $dx$-re.

A szabályt lehet balról jobbra vagy jobbról balra alkalmazni. Az utóbbi eset u-helyettesítés néven is ismert.

Kapcsolat a számítás alapvető elméletével

Az integrálás behelyettesítéssel módszer, mely a 'számítás alapvető elméletéből' vezethető le.

Legyen ƒ és g két függvény, melyek eleget tesznek a fenti hipotézisnek, hogy ƒ folytonos egy I tartományban, és $g'\,$ is folytonos a [a,b] zárt intervallumban. Ekkor $f(g(t))g'(t)$ függvény is folytonos [a,b]-ben. Ezért az integrál:

$\int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx$

és

$\int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt$

létezik, és majd, hogy azonosak. Mivel ƒ folytonos, rendelkezik egy F antideriválttal. A $F\circ g$ összetett függvény definiálható. Mivel F és g differenciálhatók, a láncszabály értelmében:

$(F\circ g)'(t)=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t).$

A számítás alapvető elméletét kétszer alkalmazva:

$\int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)=F(g(b))-F(g(a))=\int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx,$

mely éppen a behelyettesítési szabály.

Példák

Tekintsük a következő integrált:

$\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx$

Ha elvégezzük a u = x² + 1 behelyettesítést, azt kapjuk, hogy: du = 2x dx és

$\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).$

Fontos megjegyezni, hogy mivel az alsó limit x = 0-t, u = 0² + 1 = 1-val helyettesítettük, valamint a felső limit x = 2 –t, u = 2² + 1 = 5 kifejezéssel, az x visszahelyettesítése szükségtelen. A  :$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx$ integrál képletet jobbról balra szükséges alkalmazni: A x = sin(u), dx = cos(u) du helyettesítés hasznos, mert ${\sqrt {(1-\sin ^{2}(u))}}=\cos(u)$:

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\cos(u)\;du=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(u)\;du={\frac {\pi }{4}}$

Az integrál számítható a részenkénti integrálás szabályai szerint, néhány behelyettesítés után.

Antideriváltak

A behelyettesítési módszer az antideriváltak meghatározására is használható.

Példa az antiderivált meghatározásra:

$\quad \int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C$

ahol C tetszőleges integrálási konstans.

Megjegyezzük: nem volt integrálási határ, de az utolsó lépésben megfordítottuk az eredeti helyettesítést: u = x² + 1.

Alkalmazás a valószínűségszámításban

A behelyettesítési módszer a következő fontos kérdés megválaszolásában használható a valószínűségszámításban:

Legyen adott egy $X$ valószínűségi változó, $p_{x}$ valószínűségi sűrűséggel, és egy másik valószínűségi változó, $Y$ , mely kapcsolódik $X$-hez a következő egyenlettel: $y=\Phi (x)$, a kérdés: mi az $Y$ valószínűségi sűrűsége? A kérdést könnyű megválaszolni, ha előtte válaszolunk egy kissé különböző kérdésre:

Mi annak a valószínűsége, hogy $Y$ egy bizonyos $S$ alhalmaz része?

Jelöljük ezt a valószínűséget $P(Y\in S)$.

Ha $Y$ valószínűségi sűrűsége $p_{y}$, akkor a válasz:

$P(Y\in S)=\int _{S}p_{y}(y)\,dy,$

de ez nem túl használható, mert nem ismerjük p_y-t; ezt kell először kitalálni.

Előre haladhatunk, ha tekintjük $X$. $Y$ felvesz egy értéket S-ben, ha X felvesz értéket $\Phi ^{-1}(S)$-ben, így

$P(Y\in S)=\int _{\Phi ^{-1}(S)}p_{x}(x)\,dx.$

Az x -et y –ra változtatva

$P(Y\in S)=\int _{\Phi ^{-1}(S)}p_{x}(x)~dx=\int _{S}p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|~dy.$

ezt kombinálva az első egyenletünkkel, kapjuk:

$\int _{S}p_{y}(y)~dy=\int _{S}p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|~dy$

így:

$p_{y}(y)=p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|.$

Abban az esetben, ha $X$ és $Y$ több korrelálatlan változótól függ, azaz $p_{x}=p_{x}(x_{1}\ldots x_{n})$, és $y=\Phi (x)$, $p_{y}$-t kapjuk több behelyettesítés után, akkor az eredmény:

$p_{y}(y)=p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|\det \left[D\Phi ^{-1}(y)\right]\right|.$

Irodalom

• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl: Real and abstract analysis. (hely nélkül): Springer-Verlag. 1965. ISBN 978-0387045597  
• Katz, V: Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan. (hely nélkül): Mathematics Magazine 55. 1982. ISBN 978-0387045597  
• Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
• Gerőcs L.-Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

Kapcsolódó szócikkek

• Valószínűségszámítás
• Sűrűségfüggvény
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Szórás
• Gamma-eloszlás
• Valószínűségi változó
• Szórásnégyzet
• Karakterisztikus függvény
• Lapultság
• Láncszabály