Helyettesítéses integrálás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az integrálás behelyettesítéssel egy matematikai módszer függvények integráljának kiszámítására.

Gyakori feladat egy függvény antideriváltját megtalálni. Ezért is, és más okok miatt is, az ‘integrálás behelyettesítéssel’ fontos eszköze a matematikának.

Ez az ellenpárja a differenciálás láncszabályának.

Legyen     egy intervallum, és     egy folytonos differenciálható függvény.

Tegyük fel, hogy egy folytonos függvény, akkor:

A Leibniz-féle jelölést használva, az behelyettesítés adja: és így formálisan , mely a kívánt behelyettesítés -re.

Ez a szabály lehetőséget kínál egy integrál átalakítására egy másik integrálra, melyet könnyebb kiszámolni.

A szabályt lehet balról jobbra vagy jobbról balra alkalmazni. Az utóbbi eset ‘u-helyettesítés’ néven is ismert.

Kapcsolat a számítás alapvető elméletével[szerkesztés]

Az integrálás behelyettesítéssel módszer, mely a 'számítás alapvető elméletéből' vezethető le.

Legyen ƒ és g két függvény, melyek kielégítik a fenti hipotézist, hogy ƒ folytonos egy I tartományban, és is folytonos a [a,b] zárt intervallumban. Ekkor függvény is folytonos [a,b]-ben. Ezért az integrál:

és

létezik, és majd, hogy azonosak. Mivel ƒ folytonos, rendelkezik egy F antideriválttal. A összetett függvény definiálható. Mivel F és g differenciálhatók, a láncszabály értelmében:

A számítás alapvető elméletét kétszer alkalmazva:

mely éppen a behelyettesítési szabály.

Példák[szerkesztés]

Tekintsük a következő integrált:

Ha elvégezzük a u = x2 + 1 behelyettesítést, azt kapjuk, hogy: du = 2x dx és

Fontos megjegyezni, hogy mivel az alsó limit x = 0-t, u = 02 + 1 = 1-val helyettesítettük, valamint a felső limit x = 2 –t, u = 22 + 1 = 5 kifejezéssel, az x visszahelyettesítése szükségtelen. A  : integrál képletet jobbról balra szükséges alkalmazni: A x = sin(u), dx = cos(udu helyettesítés hasznos, mert :

Az integrál számítható a részenkénti integrálás szabályai szerint, néhány behelyettesítés után.

Antideriváltak[szerkesztés]

A behelyettesítési módszer az antideriváltak meghatározására is használható.

Példa az antiderivált meghatározásra:

ahol C tetszőleges integrálási konstans.

Megjegyezzük: nem volt integrálási határ, de az utolsó lépésben megfordítottuk az eredeti helyettesítést: u = x2 + 1.

Alkalmazás a valószínűségszámításban[szerkesztés]

A behelyettesítési módszer a következő fontos kérdés megválaszolásában használható a valószínűségszámításban:

Legyen adott egy valószínűségi változó, valószínűségi sűrűséggel, és egy másik valószínűségi változó, , mely kapcsolódik -hez a következő egyenlettel: , a kérdés: mi a valószínűségi sűrűsége? A kérdést könnyű megválaszolni, ha előtte válaszolunk egy kissé különböző kérdésre:

Mi annak a valószínűsége, hogy egy bizonyos alhalmaz része?

Jelöljük ezt a valószínűséget .

Ha valószínűségi sűrűsége , akkor a válasz:

de ez nem túl használható, mert nem ismerjük py-t; ezt kell először kitalálni.

Előre haladhatunk, ha tekintjük . felvesz egy értéket S-ben, ha X felvesz értéket -ben, így

Az x -et y –ra változtatva

ezt kombinálva az első egyenletünkkel, kapjuk:

így:

Abban az esetben, ha és több korrelálatlan változótól függ, azaz , és , -t kapjuk több behelyettesítés után, akkor az eredmény:

Irodalom[szerkesztés]

  • Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl: Real and abstract analysis. (hely nélkül): Springer-Verlag. 1965. ISBN 9780387045597  
  • Katz, V: Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan. (hely nélkül): Mathematics Magazine 55. 1982. ISBN 9780387045597  
  • Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
  • Gerőcs L.-Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]