Karakterisztikus függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a karakterisztikus függvény (vagy ritkábban: indikátorfüggvény) olyan függvény, amely azt jelzi, hogy értelmezési tartományának pontjai elemei-e egy halmaznak.

A fogalom fontos szerepet játszik a matematikai analízisben, a mértékelméletben és a kombinatorikában.

A valószínűség-számításban szerepet játszik egy másik, szintén karakterisztikus függvénynek nevezett fogalom, amelynek az itt taglaltakhoz nincs köze.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen az a A halmaz az X alaphalmaz egy részhalmaza. Ekkor A karakterisztikus függvényének nevezzük az X halmaz felett azt a

\mathbf{\chi}_A : X \to \{ 0,1 \} \,

függvényt, amelyre

\mathbf{\chi}_A(x) =
\begin{cases} 
1, &\mbox{ha}\ x \in A, \\
0, &\mbox{ha}\ x \notin A.
\end{cases}

Alapvető tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti jelölésekkel

\mathbf{\chi}_X=\mathbf{1}

és

\mathbf{\chi}_{\emptyset}=\mathbf{0},

ahol \mathbf{0} jelöli az azonosan 0 függvényt, és \mathbf{1} jelöli az azonosan 1 függvényt.

Legyen A és B az X két részhalmaza. Akkor

\mathbf{\chi}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{\chi}_A,\mathbf{\chi}_B\} = \mathbf{\chi}_A \cdot\mathbf{\chi}_B,\,
\mathbf{\chi}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{\chi}_A,\mathbf{\chi}_B}\} = \mathbf{\chi}_A + \mathbf{\chi}_B - \mathbf{\chi}_A \cdot\mathbf{\chi}_B.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]