Cauchy–Hadamard-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Cauchy–Hadamard-tétel a komplex hatványsorok konvergenciasugaráról szól.

Jelölje R a nem negatív valós számot. Ekkor a hatványsor abszolút konvergens az (esetleg elfajult) { |z| < R } körben, minden kicsit kisebb { |z| < r } r < R körben egyenletesen is konvergens, és divergens |z| > R -re.

Alkalmazások és következmények[szerkesztés]

A tétel segítségével belátható, hogy az exponenciális függvény hatványsora mindenütt konvergál a komplex síkon:

A tétel megmagyarázza, hogy miért nem konvergál az valós függvény hatványsora a (−1, 1) intervallumon kívül. Ugyanis a komplex számsíkra kiterjesztve a függvény hatványsora nem konvergálhat nagyobb körben, hiszen a függvénynek pólusa van i-ben.

A Cauchy–Hadamard-tétellel belátható, hogy a hatványsorba fejthető függvények akárhányszor differenciálhatóak, és az n-edik deriváltjuk megkapható a hatványsor formális n-edik deriváltjaként. A tétel következményeként adódik a hatványsor egyértelműsége is.

Bizonyítás[szerkesztés]

Legyen r0 olyan, hogy egy véges M nem negatív valós számra. Másként

Határátmenettel

Az egyenlőtlenség a felső határra is fennáll, tehát

Legyen most

Ekkor az alsó határérték definíciója szerint

ebből

ha n elég nagy.

korlátos, tehát van ilyen M, és így r0-lal az alsó határértékhez tartva adódik az állítás első felének megfordítása.

Forrás[szerkesztés]

Halász Gábor: Komplex függvénytan