Legendre-szimbólum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (17521833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.

Definíció[szerkesztés]

Ha prímszám és egész szám, akkor az Legendre-szimbólum értéke:

  • 0 ha osztja -t,
  • 1 ha kvadratikus maradék -re nézve – azaz van olyan egész hogy ,
  • – 1 ha kvadratikus nemmaradék -re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú szám

A Legendre-szimbólum tulajdonságai[szerkesztés]

A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:

  1. (felső változójában teljesen multiplikatív függvény)
  2. Ha , akkor
  3. Ha páratlan prím, akkor azaz 1, ha és – 1, ha
  4. Ha páratlan prím, akkor ami 1, ha vagy és – 1, ha vagy
  5. Ha és páratlan prímszámok, akkor

Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.

Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:

A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.

Általánosítás[szerkesztés]

A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.

Külső hivatkozások[szerkesztés]