Jólrendezett halmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

Jólrendezett halmaznak nevezünk egy halmazt, ha adott rajta egy jólrendezés, ami olyan teljes rendezést jelent, melyre igaz, hogy alaphalmaza minden nemüres részhalmazának van a rendezés szerint legkisebb eleme. A fogalomhoz kapcsolódik a jólrendezési tétel.

Definíció[szerkesztés]

Az (A, ≤) rendezett halmazt jólrendezett halmaznak nevezzük, ha minden nemüres részhalmazának van legkisebb eleme.

Két jólrendezett halmazt izomorfnak nevezünk, ha van köztük rendezéstartó bijekció, azaz izomorf -vel, ha van olyan bijekció, melyre a <1 b pontosan akkor, ha F(a) <2 F(b) minden -ra.

Az izomorfia tehát a halmazok és a rajtuk definiált jólrendezések közös tulajdonsága, egy adott halmaznak is lehetnek egymással nem izomorf jólrendezései (sőt, pontosan a véges halmazok azok, amiknek minden (jól)rendezése izomorf egymással). A jólrendezett halmazok közötti izomorfizmus ekvivalenciareláció.
Izomorf jólrendezett halmazok közös tulajdonságát, "a jólrendezésük típusát" rendszámnak nevezzük.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Egy jólrendezett halmaz nem tartalmazhat végtelen csökkenő sorozatot.

Az egész számok halmaza a szokásos rendezéssel nem alkot jólrendezett halmazt, de könnyen definiálható olyan rendezés, amely mellett a kapott struktúra jólrendezett. Legyen a rendezés a következő: x <z y pontosan akkor, ha |x| < |y| vagy |x| = |y| és x < y. (Itt < a szokásos rendezést jelöli.)

Egy jólrendezett halmazban minden elemnek van rákövetkezője, azaz olyan elem, ami a nála nagyobbak közül a legkisebb. (Kivéve ha a halmaznak van legnagyobb eleme, akkor annak értelemszerűen nincs rákövetkezője.) Érdemes megemlíteni, hogy nem feltétlenül van minden elemnek megelőzője. Tekintsük azt a halmazt, ami két példányban tartalmazza a természetes számokat oly módon, hogy egy példányon belül a rendezés a szokásos, de a második példány minden eleme nagyobb az első példány elemeinél. (ω + ω: 01, 11, 21, …, 02, 12, 22, …). Ez a halmaz jólrendezett, de 02-nek nincs megelőzője. (01-nek sincs, de az a legkisebb elem a halmazban.)

A jólrendezett halmazok azért kényelmesek, mert alkalmazható bennük a transzfinit indukció (a teljes indukció általánosítása), melynek segítségével a halmaz elemeire olykor könnyen bizonyíthatunk állításokat.

Példák[szerkesztés]

Példák jólrendezett halmazra:

  • Bármely véges teljesen rendezett halmaz.
  • A természetes számok a szokásos rendezéssel.

Példák nem jólrendezett halmazra:

  • Az egész számok a szokásos rendezéssel, hiszen a negatív számokból álló részhalmaznak nincs legkisebb eleme.
  • A pozitív valós számok a szokásos rendezéssel, hiszen például a (0,1) nyílt intervallumnak nincs legkisebb eleme.

Topológia[szerkesztés]

Minden jólrendezett halmaz topologikus térré tehető. Ezekben a topológiákban kétféle elem van:

  • Izolált pontok: a minimum és azok az elemek, amiknek van megelőzője
  • Határpontok: az összes többi. Csak végtelen halmazban jelenhetnek meg. Azok a végtelen halmazok, amik nem tartalmaznak ilyen pontot, éppen az ω rendszámú halmazok. Ilyen például a természetes számok halmaza.

A részhalmazok lehetnek:

  • maximumot tartalmazó halmazok. Mivel minimumuk is van, ezért ezek kétszeresen jólrendezett halmazok.
  • önmagukban nem korlátos, de az egészben korlátos részhalmazok. Nincs maximumuk; szuprémumuk a részhalmazon kívülre, de a tartalmazó halmazon belülre esik. Ha a részhalmaz nem üres, akkor ez határpontja a részhalmaznak, és a tartalmazó halmaznak is. Ha a részhalmaz üres, akkor ez az egész halmaz minimuma.
  • az egészben sem korlátos részhalmazok

Egy részhalmaz ko-véges, ha nem korlátos az egészben, vagy maximuma az egész halmaznak is maximuma.

A jólrendezett halmazban, mint topologikus térben akkor és csak akkor minden pontnak van megszámlálható környezetbázisa, ha rendszáma kisebb ω1-nél. Ez tovább ekvivalens azzal, hogy a halmaz megszámlálható, vagy rendszáma a legkisebb nem megszámlálható rendszám.

Források[szerkesztés]

  • Rédei, László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon Kiadó, Szeged, 1994