Részbenrendezett halmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Részbenrendezés szócikkből átirányítva)
Részbenrendezett halmaz Hasse-diagramja

A matematikában részbenrendezett halmaznak (vagy más néven parciálisan rendezett halmaznak, angolul: partially ordered set vagy poset) nevezünk egy halmazt, ha definiálva van a halmaz elemein egy részbenrendezés (vagy más néven parciális rendezés), azaz egy reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív reláció. Részbenrendezett halmazok esetében tehát nem követeljük meg, hogy az alaphalmaz bármely két eleme összehasonlítható legyen, mint a rendezett halmazoknál.

Részbenrendezett halmaz rendezett részhalmazának neve lánc, az olyan részhalmazé pedig, amelyben semelyik két elem sem hasonlítható össze, antilánc.

Részbenrendezett halmazok ábrázolására általában Hasse-diagramot használunk.

Definíció[szerkesztés]

Az párt részbenrendezett halmaznak nevezzük, ha tetszőleges halmaz, pedig -n értelmezett részbenrendezés, azaz tetszőleges elemekre teljesülnek a következők:

  • ha és , akkor
  • ha és , akkor

Kiterjesztés, kompatibilitás, atommentesség, elágazó részbenrendezett halmazok[szerkesztés]

Legyen tetszőleges részbenrendezett halmaz és . Azt mondjuk, hogy b kiterjesztése a-nak, ha , illetve valódi kiterjesztésről beszélünk, ha és

Legyen tetszőleges részbenrendezett halmaz és . Akkor mondjuk, hogy az és elemek kompatibilisek, ha van közös kiterjesztésük, azaz van olyan elem, amelyre és is teljesül. Ellenkező esetben inkompatibilis elemekről beszélünk.

Legyen tetszőleges részbenrendezett halmaz és . Az elemet atomnak nevezzük, ha az elemnek nincs valódi kiterjesztése. Az részbenrendezett halmazt atommentesnek nevezzük, ha nincs benne atom.

Az részbenrendezett halmazt elágazó részbenrendezett halmaznak nevezzük, ha tetszőleges elemekhez létezik olyan elem, hogy kompatibilis -val és inkompatibilis -vel.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Legyen tetszőleges atommentes, elágazó részbenrendezett halmaz. Ekkor tetszőleges elemhez létezik elem úgy, hogy és egyaránt kiterjesztése -nak, azonban és egymással inkompatibilis.[1]

Példák[szerkesztés]

Lásd még[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Lásd: Csirmaz László: Forszolás (jegyzet)

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Csirmaz László: Forszolás (jegyzet)
  • Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
  • Szász Gábor: Bevezetés a hálóelméletbe, Akadémiai Kiadó, Budapest (1959)
  • Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

További információk[szerkesztés]