Forszolás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A forszolás (forcing) mint a relatív ellentmondás-mentesség és függetlenség bizonyítására alkalmas módszer, a modern matematika történetének egyik legújabb nagy eredménye. A módszer halmazelméleti kidolgozója Paul Cohen, aki a forszolással sikeresen bizonyította a kontinuumhipotézis függetlenségét. A másik jelentős eredmény, amit Cohen maga bizonyított a forszolás segítségével, a kiválasztási axióma függetlensége a Zermelo–Fraenkel axiómarendszertől.

A halmazelmélet modellje vagy a teljes , vagy annak egy nagy, de véges részhalmazának modellje. A modell tranzitív, hogyha , akkor . A forszolás alapgondolata, hogy a halmazelmélet egy tranzitív modelljét (the ground model) úgy bővítjük, hogy hozzáveszünk egy új G halmazt (a generic set), hogy ezáltal a halmazelméletnek egy tágabb tranzitív modelljéhez jussunk M[G], amit eztán bővebb modellnek (generic extension) nevezünk. A G halmaz közelítése az alapmodellben meghatározott forszolási feltételek által történik, s e feltételek megfelelő kiválasztása meghatározza, hogy mi igaz a bővebb modellben.[1]

A módszer 1963-as bevezetése óta a forszolást számos esetben alkalmazták, sőt, (bizonyos továbbfejlesztéseknek köszönhetően) meghatározó szerepe lett a modellmódszeres relatív ellentmondás-mentességi bizonyítások körében. A leíró halmazelmélet mind a rekurzióelméletben, mind a halmazelméletben használja a forszolás jelölésrendszerét. A modellelméletben általában közvetlenül definiálják az általánosságot a forszolás említés nélkül.

Intuitív megközelítés[szerkesztés]

Maga a forszolás ekvivalens a Bool-értékű modellalkotással, ami természetesebben és intuitívabban hat, de nehezebb megvalósítani.

Legyen az univerzum . A forszolás ezt kibővíti egy nagyobb univerzummá. Ebben az új univerzumban számos halmaz lehet, amelyek nem voltak meg a régi univerzumban, így megsérthetik a kontinuumhipotézist. Ez a Cantor-paradoxon megfogalmazása a végtelenről. Elméletben vehetjük ezt is:

,

ahol azonosítjuk az elemeket az elemekkel. Az halmazok számára új eleme relációt vezetünk be. A forszolás ennek továbbfejlesztett változata, ami a kiterjesztésben egyetlen új halmaz meglétét bizonyítja, és részletesen szabályozhatóvá teszi az új univerzum tulajdonságait.

Cohen eredeti módszere, az elágazó forszolás lényegesen különbözik az itt ismertetett nem elágazó forszolással.

Forszoló posetek[szerkesztés]

Egy forszoló poset egy rendezett hármas, ahol kvázirendezés a halmazon, ami eleget tesz a következő hasító feltételnek:

Minden elemhez van , hogy úgy, hogy nincs , hogy . legnagyobb eleme , azaz minden elemre. elemei forszolási állapotok, vagy röviden állapotok. A relációt úgy mondjuk, hogy erősebb, mint . Intuitívan, a kisebb halmaz több információt nyújt, például a több információt a pi számról, mint a

Emellett egyes szerzők más konvenciókat is feltételeznek, például kikötik, hogy antiszimmetrikus legyen, tehát részbenrendezésről van szó. Mások eleve a részbenrendezést követelik meg, szemben a többségi terminológiával, ami kvázirendezést ír elő. A másik irányú rendezést is használják, különösen Saharon Shelah és társai.

-nevek[szerkesztés]

A forszoló posethez asszociáljuk (kapcsoljuk) a-nevek osztályát. Az A halmaz -név, ha

Ez egy transzfinit rekurziót is magába foglaló definíció. Pontosabban, a transzfinit rekurziót először a következő hierarchia definiálására használják:

Ekkor a -nevek osztálya definiálható, mint:

A nevek valójában a Neumann-univerzum kiterjesztései. Ha adott, akkor a -neve:

Ez szintén egy transzfinit rekurzióval megadott definíció.

Értelmezés[szerkesztés]

Bármely adott része halmazra definiáljuk az értelmezés vagy kiértékelés leképezést a -nevek halmazából:

Ez újra egy transzfinit rekurzióval megadott definíció. Jegyezzük meg, hogy ha , akkor . Most

úgyhogy .

Példa[szerkesztés]

A forszoló halmazra jó példa a , ahol és az Borel-halmazai közül azok, amelyeknek nem nulla a Lebesgue-mértéke. Ekkor beszélhetünk a feltételekről, mint valószínűségekről, és egy -név valószínűségi értelemben jelent tagságot. A valószínűségszámítási nyelvezetet más forszoló posetek esetén is használják.

Megszámlálható tranzitív modellek és generikus szűrők[szerkesztés]

Adott -univerzum esetén a forszolás kulcslépése az, hogy találjunk egy alkalmas objektumot, ami nem eleme -nek. A -nevek összes értelmezésének eredményként kapott osztályáról belátjuk, hogy a modellje, és valódi bővítése -nek, mivel .

Ahelyett, hogy -vel foglalkoznánk, egy megszámlálható és tranzitív modellt veszünk, hogy . A Mostowski-féle suvasztási lemma szerint a tranzitivitás feltehető a modellben, ha az eleme reláció jóldefiniált. A tranzitivitás miatt az eleme és a többi elemi reláció intuitívan kezelhető. A megszámlálhatósági követelmény a Löwenheim-Skolem-tétel miatt kell.

A Russel-paradoxon miatt, mivel halmaz, azért van olyan halmaz, ami nem eleme -nek. A halmaz szűrő, ha nem eleme -nek, és:

  • ;
  • ;
  • ha , akkor ;
  • ha , akkor van hogy .

A generikusság a következőt jelenti:

  • Ha sűrű -ben (azaz minden -hez van úgy, hogy ), akkor .

A generikus szűrő létezése következik a Rasiowa-Sikorski-lemmából. Valójában több is igaz: adott állapot esetén, van hogy . A hasítási állapot miatt, ha szűrő, akkor sűrű. Ha , akkor , mivel modellje. Emiatt generikus szűrő nem lehet -ben.

Az eljárás[szerkesztés]

Adott esetén a forszolás így működik: Az -nevek halmazát -ben jelöli. Legyen . halmazelméletének halmazelméletére való redukálásához az elsőrendű logikán alapuló forszoló nyelvet használjuk, ahol az eleme egy bináris reláció, és a -nevek konstansok.

Definiáljuk a relációt (kiolvasva: forszolja -t az modellben a posettel), ahol állapot, a forszoló nyelv formulája, és az -k -nevek. Vagyis ha generikus szűrő, ami tartalmazza -t, akkor . Az speciális esetet úgy is írják, mint ” vagy egyszerűen “. Az ilyen állítások igazak -ben, függetlenül attól, hogy mi .

Fontos megjegyezni, hogy a forszoló relációnak ez a külső definíciója megegyezik az -en vett belső definícióval. Ezt az és -neveinek halmazán végzett transzfinit indukcióval határozzuk meg, és utána a formulák bonyolultsága szerint végzett teljes indukcióval. Ennek következtében tulajdonságai -nek is tulajdonságai, innen egyenesen következik teljesülése -ben. Ezt rendszerint a következő tulajdonságokkal jellemzik:

  • Igazság: akkor és csak akkor ha forszolja, vagyis bizonyos állapotra teljesül .
  • Definiálhatóság: Az “” állítás definiálható -ben.
  • Koherencia: Ha és , akkor .

Definiáljuk a forszoló relációt -ben a formulák bonyolultsága szerint, először az atomi formulákra az -indukció szerint, utána bárely formulára:

1. akkor és csak akkor, ha .

2. akkor és csak akkor, ha .

3. akkor és csak akkor, ha .

4. akkor és csak akkor, ha .

5. akkor és csak akkor, ha .

Ellentmondás-mentesség[szerkesztés]

A fenti diszkusszió eredménye összegezhető fundamentális ellentmondás-mentességi eredményként, azaz adott forszoló poset mellett feltehetjük a generikus szűrő létezését, ami nem eleme a univerzumnak, így szintén halmazelméleti modell a -axiómákra. Továbbá igazságai a forszoló reláció szerint redukálhatók igazságaira.

Gyakran használt módszer hozzávétele akár az modellhez, akár a univerzumhoz. Ritkábban találkozhatunk a forszolás belső megközelítésével, ahol nincsenek megemlítve halmaz vagy osztály modellek. Ez volt Cohen eredeti módszere, és egy másik irányú továbbfejlesztéséből alakították ki a Boole-értékű analízist.

Cohen-forszolás[szerkesztés]

A legegyszerűbb nem triviális forszoló poset a , ami a véges parciális függvények halmazát jelöli -ból a visszafelé beágyazás alatt. Így egy állapothoz két véges részhalmaz tartozik -ban, a és a , amelyekre gondolhatunk úgy, mint az igen és a nem részekre. Nem nyújtqanak információt a -n kívüli értékekre. A erősebb, mint állítás azt jelenti, hogy , más szavakkal, igen és nem halmazai tartalmazzák megfelelő részhalmazát, így több információt nyújtanak.

Legyen generikus szűrő ehhez a posethez! Ekkor, ha és eleme -nek, akkor állapot, mivel szűrő. Ez azt jelenti, hogy jóldefiniált parciális függvény -ból -be, mivel -ben bármely két állapot megegyezik közös tartományukon.

Valójában totális függvény. Adott elemre legyen . Ekkor sűrű, ugyanis bármely adott esetén, ha nincs benne tartományában, akkor egyesítünk egy értéket -nel, az eredmény -beli. Egy állapot tartománya tartalmazza -et, és mivel , azért definiálva van.

Legyen , az általános állapotok igen halmaza; ekkor közvetlenül el lehet nevezni -et. Legyen . Ekkor . Most tegyük fel, hogy -ben. Most azt állítjuk, hogy . Legyen . Ekkor sűrű; ez az előző bekezdésben leírtak szerint látható be. Ekkor bármely tanú arra, hogy . Összegezve, egy új részhalmaza -nak, és szükségképpen végtelen.

Helyettesítsünk -ba -t! Ezzel a véges parciális függvények közül vesszük azokat, amelyek az párokon vannak értelmezve, ahol és ; értékük pedig vagy . Ezzel új részhalmaz adódik -ban. Mindegyikük különböző a sűrűségi érv miatt: Adott esetén legyen , ekkor a fenti érveléshez hasonlóan sűrű, és egy általános állapot bioztosítja, hogy az -adik és a -adik új halmaz különböző.

Ez azonban még nem cáfolja a kontinuumhipotézist. Először azt kell belátni, hogy nem keletkeztek új leképezések, amelyek teljes -t -re képezik, vagy teljes -et -re. Például, ha helyett az első nem megszámlálható rendszámot vesszük, akkor -ben bijekciót kapunk és között. Más szóval, suvasztottuk -et, és a forszoló kiterjesztésben már megszámlálható rendszám.

A kontinuumhipotézis függetlenségének megmutatásához vezető utolsó lépés annak megmutatása, hogy Cohen-forszolással nem lehet suvasztani kardinális számokat. Ehhez elégséges az a kombinatorikai tulajdonság, hogy ennek a posetnek az összes antilánca megszámlálható.

A megszámlálható lánc feltétele[szerkesztés]

A egy antilánca egy olyan részhalmaz, aminek elemeire teljesül, hogy valahányszor , mindannyiszor , vagyis nem kompatibilisek. Azaz nincs a halmazban, hogy és . Borel-halmazokon ez azt jelenti, hogy mértéke nulla. A véges parciális függvények körében nem függvény, azaz van legalább egy elem, amihez különböző értéket rendelnek.

megfelel a megszámlálható lánc feltételnek, ha minden -beli antilánc megszámlálható. Ez az elnevezés régebbi terminológiára vezethető vissza.

Könnyen belátható, hogy megfelel a megszámlálható lánc feltételnek, mivel a mértékek összege legfeljebb . Továbbá is teljesíti a feltételt, de ezt már bonyolultabb belátni.

Adott megszámlálható részcsalád esetén zsugorítsuk -t a n elemet tartalmazó halmazok megszámlálhatatlan részcsaládjára, Ezt ismételjük addig, amíg nem jutunk egy véges halmazhoz és egy megszámlálhatatlan halmazcsaládhoz, továbbá kompatibilis állapothoz, hogy minden eleme -nek legfeljebb esetén. Most válasszunk tetszőleges elemet, és válasszunk hozzá elemet, amelynek értelmezési tartomány diszjunkt p-től. Ekkor és össuzehasonblíthatók, tehát nem antilánc. Más szóval, csak megszámlálható sok -antilánc van.

A forszolásban az antiláncok több szempontból is fontosak, mivel többnyire a sűrű halmazok és a maximális antiláncok ekvivalensek. Egy antilánc maximális akkor, ha nem bővíthető nagyobb antilánccá. Ez azt jelenti, hogy minden elem kompatibilis valamelyik elemével. A maximális antilánc létezése következik a Zorn-lemmából. Adott antilánc esetén legyen . Ekkor sűrű, és akkor és csak akkor, ha . Megfordítva, ha sűrű, akkor a Zorn-lemma miatt van antilánc, így akkor és csak akkor, ha .

Tegyük fel, hogy megfelel a megszámlálható lánc feltételnek. Adott esetén, ha függvvény -ben, akkor approximáljuk -et -ben a következőképpen: Legyen egy név az számára, és legyen állapot, ami forszolja, hogy függvény legyen -ből -ba. Legyen az -en értelmezett függvény olyan, hogy . A forszolás definíciója miatt ez egész -n értelmes. A forszolás definíciója miatt a különböző -k nem kompatibilis -kből származnak. A megszámlálható lánc feltétele miatt megszámlálható.

Összegezve, nem ismert -ben, mivel -től függ, azonban nem ismeretlen a megszámlálható lánc feltétel forszolás számára. Azonosíthatunk egy megszámlálható halmazt -hez, ami segít ismerete nélkül is meghatározni értékét, -től függetlenül.

Ennek a következő érdekes következménye adódik. Ha -ben az függvény szürjektív az egyik végtelen rendszámról egy másikba, akkor van szürjektív -n, és szürjektív -ben. Tehát a rendszámok nem suvaszthatók, és -ben.

Easton-forszolás[szerkesztés]

A kontinuum pontos értékének meghatározása a fenti Cohen-modellben és változataiban, mint a rendszámokra Robert M. Solovay műve, aki a megsértésével is foglalkozott. Ezt csak reguláris rendszámokra dolgozta ki. Például, ha a Cohen-modellben teljesül -n, akkor teljesül -ben.

William B. Easton valódi osztály verziót dolgozott ki a megsértéséhez reguláris rendszámok esetén, alapvetően azzal, hogy megmutatta, az ismert korlátozások, mint a monotonitás, a Cantor-tétel, és a König-tétel csak a feltevésével bizonyíthatók.

Easton eredménye fontos volt abban, hogy a forszolást valódi állapotosztállyal végezte. Általában ezen a módon nem lehet modellezni a -et. Például a osztállyal végzett forszolás, ahol az összes rendszám valódi osztálya, a kontinuumot valódi osztállyá teszi. Ezzel szemben a osztállyal forszolva a rendszámok megszámlálható felsorolásához jutunk. A egyik esetben sem modellje -nek.

Egy időben úgy gondolták, hogy van a forszolásnak egy finomított változata, ami lehetővé teszi a szinguláris rendszámok hatványainak tetszőleges megváltoztatását. Azonban kiderült, hogy ez egy nehéz, sok szálú probléma, ami meglepetésekkel is szolgál, a PCF elmélet mélyebb ismeretét igényli a -ben, és forszoló modelleket, amelyek a nagy kardinálisok különböző tulajdonságainak ellentmondás-mentességétől függenek. Sok kérdés megválaszolatlan marad.

Véletlen valósok[szerkesztés]

A Borel-halmazok algebrájában a generikus szűrő egy valós számhoz tart, amit véletlen valósnak neveznek. Az szám végtelen tizedestört kifejtése megadható, mint . Így bizonyos értelemben alneve.

Az számból visszakaphatjuk -t, ha vesszük az -t tartalmazó Borel-részhalmazait. Mivel a forszoló poset benne van -ben, de nincs benne, ez a tartalmazás lehetetlen. Ezzel szemben természetes értelemben például a -ben tartalmaz egy véletlen valóst, aminek a tizedes kifejtése úgy kezdődik, mint . Ez formalizálható a Borel-kóddal.

Minden Borel-halmaz megkapható kiindulva azokból az intervallumokból, amelyeknek mindkét végpontja racionális, és megszámlálható sokszor alkalmazva a komplementer és a megszámlálható unió műveletét. Egy ilyen konstrukció feljegyezve Borel-kód. Ha Borel-halmaz -ben, akkor megtalálva ennek egy Borel-kódját alkalmazhatjuk ugyanezt a konstrukciót -ben is, ezzel a Borel-halmazhoz juthatunk. Bizonyítható, hogy az eredeti halmaz bármelyik konstrukciójával ugyanazt a halmazt kapjunk, továbbá megőrződnek a részhalmaza relációk is, tehát ha , akkor . Továbbá, ha nullmértékű, akkor is nullmértékű.

Így, ha véletlen valós, akkor megmutatható, hogy . Az és a kapcsolatát úgy fejezhetjük ki, hogy helyett V[r] </math>-t írunk.

Dana Scott másként értelmezte a valósokat -ben. A racionális számok nevei megszámlálható sok különböző racionális számhoz tartoznak, amelyek maximális antiláncnak felelnek meg a Borel-halmazokon. Más szóval, ez egy valós értékű függvény -en. A valósai az ilyen függvények Dedekind-szeleteinek feleltethetők meg, azaz mérhető függvények.

Boole-értékű modellek[szerkesztés]

Boole-értékű modellekkel is bemutatható a módszer. Itt minden állításnak igazságértéke van, ahol az igazságértékek egy atomok nélküli teljes Boole-algebrát alkotnak. Ebben a Boole-algebrában választunk ultraszűrőt, ami igaz-hamis értékeket rendel az elmélet állításaihoz. Végeredményként a modell ultraszűrőt tartalmaz, ami új modellként fogható fel, amit a régiből az ultrafilterrel való bővítéssel kapunk. Megfelelő tulajdonságú modellből kiindulva egy megfelelő tulajdonságú modell nyerhető az ultraszűrő hozzávételével. Ebben csak az igaz, aminek igaznak kell lennie, amelyek forszolva vannak arra, hogy igazak legyenek.

Metamatematikai fejtegetés[szerkesztés]

A forszolást arra szokás használni, hogy egy állítás nem mond-e ellent a axiómarendszernek, vagy annak egy kiterjesztésének. Ennek egy módja, hogy a ellentmondásmentes, és hozzávéve az állítást belátjuk, hogy az új rendszer is ellentmondás-mentes.

Minden állapot véges mennyiségű információt tárol. Emögött az áll, hogy csak a véges információk érdekesek az ellentmondás-mentesség bizonyításához, hiszen egy elmélet kielégíthető akkor és csak akkor, ha minden véges részhalmaza kielégíthető. Ezekből azonban végtelen sokat választhatunk a modellhez; hogyha ezek is ellentmondás-mentesek, akkor és egy végtelen bővítésének ellentmondás-mentességét látjuk be.

Logikai kifejtés[szerkesztés]

Gödel második nemteljességi tétele miatt egy elég erős formális elmélet ellentmondás-mentessége nem bizonyítható a saját axiómáival. Éppen ezért csak relatív ellentmondás-mentesség bizonyítható, azaz feltéve, hogy az eredeti rendszer, például ellentmondás-mentes. Például, ha hozzávesszük -hez a H hipotézist, akkor H vagy ellentmondás-mentessége helyett csak azt láthatjuk be,hogy ha ellentmondás-mentes, akkor is ellentmondás-mentes. Valójában azt bizonyítjuk, hogy

(*)

Egy általánosabb séma a relatív ellentmondás-mentesség bizonyítására. Mivel egy bizonyítás véges sok lépést tartalmaz, azért véges sok axiómát használ:

Bármely adott bizonyítás esetén igazolhatja a bizonyítás érvényességét. Ezt a bizonyítás hossza szerinti teljes indukcióval láthatjuk be.

Most azt kapjuk, hogy

Ha belátjuk, hogy

(**) ,

akkor következik

,

ekvivalensen

,

amiből visszajutunk (*)-hoz. A relatív ellentmondás-mentesség belátásához elég bizonyítani (**)-ot. Először -bizonyítást kell használni -ra, ami bizonyítja -t a minden véges részhalmazára. Ez azonban nem általános bizonyítás.

-ben bizonyítható, hogy bármely állapot esetén a által forszolt, nevek szerint kiértékelt formulák halmaza deduktívan zárt. Továbbá, a bármely axiómájára következik -ből bizonyítható, hogy forszolja. Most már elegendő találni egy állapotot, ami forszolja .-t.

A Boole-értékű forszolás hasonlóan működik. Itt azt kell belátni, hogy Boole-értéke nem .

Egy másik megközelítés a reflexiótételt használja. A -axiómák bármely adott véges részhalmazára van -bizonyítás, hogy ennek a véges axiómahalmaznak van megszámlálható tranzitív modellje. A axiómák minden véges halmazához van a -axiómáknak egy véges halmaza, hogy bizonyítja, hogy ha egy megszámlálható modell eleget tesz -nek, akkor eleget tesz -nek. Először be kell látni, hogy -axiómáknak van véges halmaza, hogy ha egy megszámlálható tranzitív modell megfelel -nek, akkor megfelel a hipotézisnek. Ekkor a -axiómák bármely adott véges halmazára bizonyítja -t.

Néha a (**)-ban egy -nél erősebb elméletet használnak bizonyítására. Ekkor már tudunk egy bizonyítást -ra, relatívan ellentmondás-mentességére. Jegyezzük meg, hogy , ahol a , a konstruálhatóság axiómája.

Előzmények[szerkesztés]

Cantor[szerkesztés]

Georg Cantor 1870-es évekbeli munkásságához szokás kötni a halmazelmélet megszületését. Egy 1873-as cikkében leírja, hogy a pozitív egészek és a racionális számok párba állíthatóak, azaz van közöttük kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, mai szóhasználattal: a racionális számok halmaza megszámlálható.

1874-es eredménye, hogy a valós számok (melyeknek egy lehetséges definícióját is ő adta meg korábban) többen vannak: bárhogy is próbálnánk őket a pozitív egészekkel megfeleltetni, mindig maradna ki valós szám (ehhez a bizonyításhoz használta először az ún. átlós módszert, mely azonkívül, hogy a matematika szinte minden ágában van alkalmazása, a matematikai bizonyítások egyik legszebbike).

Magát a végtelen halmaz fogalmát is ő definiálta először: olyan halmaz, mely párba állítható egy valódi részhalmazával, tehát olyan részével, mely nem tartalmazza minden elemét. (A pozitív egészek esetében, ha minden ilyet kettővel beszorzunk, akkor a páros számokkal állítjuk őket párba, s valóban: van páratlan szám, tehát olyan, ami ilyenkor kimarad.)

Cantor híres, általa meg nem oldott problémája, a kontinuum-hipotézis. Cantor átlós módszere mutatja, hogy egy halmaz hatványhalmaza (részhalmazainak halmaza) mindig nagyobb az eredetinél, azaz nem lehet őket párba állítani. A kérdés az, vajon van-e olyan halmaz, amelyik nagyobb a természetes számoknál, de kisebb a hatványhalmazánál (amiket könnyen megfeleltethetünk a valós számoknak, amelyek segítségével „folytonosan” lerajzolhatjuk a számegyenest, innen a kontinuum elnevezés).

Gödel[szerkesztés]

Kurt Gödelnek több olyan eredményt sikerült bizonyítania, amelyekkel külön-külön is beírta volna magát a matematika történetébe.

Teljességi tételében azt bizonyítja, hogy bizonyos speciális esetben, egy elméletből (állítások egy halmazából) levezethető formulák megegyeznek az elmélet következményeivel, azaz ami igaz, azt be is lehet bizonyítani.

1931-es, illetve 38-as eredményei, a nemteljességi tételek azonban pont azt fogalmazzák meg, hogy a teljességi tételben leírtak jelentik a ritka kivételt, azaz ha egy elmélet nem túl „egyszerű” (például már a pozitív egészek összeadására és szorzására vonatkozó alapformulák is ilyenek), akkor mindig lesz olyan következménye, ami nem bizonyítható be az elméletből. Ilyen állítás lesz például, hogy maga az elmélet konzisztens, azaz van halmazmodellje. Van tehát olyan állítás, ami hiába igaz, mégsem lehet bebizonyítani, sőt, arról sem lehetünk meggyőződve, hogy az elméletünk nem vezet ellentmondásra. Ha ugyanis van ellentmondás azt előbb-utóbb megtalálja valaki, ha viszont nincs, azt nem lehet bebizonyítani.

Relatív ellentmondás-mentesség bizonyítása modellmódszerrel[szerkesztés]

Gödel munkássága nyomán ismeretes, hogy egy elmélet elletmondástalansága azt jelenteni, hogy van az elméletnek halmazmodellje. Ilyen létezését azonban nem tudjuk garantálni a második nemteljességi tétel miatt. Ha azonban feltesszük egy modell létezését, abból definiálhatunk egy másikat, így mutatva meg, hogy ha az egyik elmélet ellentmondástalan, akkor a másik is az kell, hogy legyen. Gödel a Zermelo-Fraenkel axiómarendszert teljesítő modellből kiindulva definiálta az ún. konstruálható halmazok L-lel jelölt modelljét, amelyben a következő dolgok teljesülnek: egyrészt itt igaz Cantor kontinuum-hipotézise, sőt, minden végtelen halmazra igaz, hogy nincs olyan halmaz, ami nála nagyobb, de a hatványhalmazánál kisebb. Másrészt teljesül az ún. kiválasztási axióma. Az első állítás érthetően nagy előrelépésnek számított; a halmazelmélet egyik alapkérdését ha nem is sikerült belátni, de legalább az kiderült, hogy ha nincs ellentmondás az elfogadott axiómarendszerben, akkor úgy sincs, ha a sejtést felvesszük az axiómáink közé, azaz azt sikerült bebizonyítani, hogy az ellenkezőjét nem lehet bizonyítani.

Gödel tétele és Cohen forszolási módszerének megszületése között eltelt 30 év, de a matematikusok előtt csak „néhány” modell volt ismeretes, s azok is jórészt Gödelnek köszönhetően. Így a modellmódszeres (relatív) konzisztencia bizonyítások csak ezek tanulmányozására szorítkozhattak. A forszolással azonban új perspektívák nyíltak meg: egy modellből kiindulva modellek sokaságát lehet gyártani, s ami még fontosabb, olyan módon, hogy közben befolyásolható, hogy mi legyen igaz az új modellben és mi ne.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Jech

Lásd még[szerkesztés]

Irodalom[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Forcing (mathematics) című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Külső hivatkozások[szerkesztés]