Ekvivalenciaosztály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

Ekvivalenciaosztálynak nevezzük egy halmaz azon részhalmazát, amelynek elemei egy megadott ekvivalenciareláció szerint ekvivalensek. Az ekvivalenciaosztályok a halmazt diszjunkt módon osztják fel.

Definíció[szerkesztés]

Legyen halmaz, pedig ekvivalenciareláció felett. Ekkor szerinti ekvivalenciaosztálynak nevezzük a következő halmazt:

Tulajdonságok[szerkesztés]

Diszjunkt halmazok[szerkesztés]

Az ekvivalenciaosztályok diszjunkt halmazok:

Bizonyítás[szerkesztés]

Indirekt módon bizonyítunk: tegyük fel, hogy van olyan elem, amely mindkét osztálynak eleme. Ekkor mindkét osztály minden eleme ekvivalens ezzel az elemmel, és az ekvivalencia definíciója alapján egymással is, tehát a két halmaz kölcsönösen részhalmaza egymásnak, azaz egyenlő.

Az ekvivalencia tranzitivitása alapján

Az ekvivalenciaosztály definíciója szerint pedig

QED

Faktorizálás[szerkesztés]

Ha ekvivalencia a halmaz felett, akkor minden eleme benne van valamelyik ekvivalenciaosztályban. A feletti ekvivalenciaosztályok halmazát faktorhalmazának nevezzük. Jelölése: .

Jegyzetek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]