Osztóharmonikus számok
A számelméletben az Ore-szám (Øystein Ore után, aki 1948-ban definiálta ezeket) vagy osztóharmonikus szám[1] (néha még harmonikus szám) olyan pozitív egész szám, melynek osztóiból harmonikus közepet képezve egész számot kapunk. Az első néhány osztóharmonikus szám:
Például a 6 osztóharmonikus számnak a négy osztója 1, 2, 3 és 6. Harmonikus közepük is egész szám:
A 140 osztói 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 és 140. Harmonikus közepük:
5 egész szám, ezért 140 osztóharmonikus szám.
Osztóharmonikus és tökéletes számok
[szerkesztés]Ore megfigyelte, hogy bármilyen M egész számra az osztók harmonikus és a számtani középének szorzata M-mel egyezik meg, ahogy az a definíciókból is következik. Így tehát, M osztóharmonikus, osztói k harmonikus közepével, csakkor ha az osztóinak átlaga megegyezik M és az 1/k egységtört szorzatával.
Ore megmutatta, hogy minden tökéletes szám egyben osztóharmonikus szám is. Mivel egy M tökéletes szám osztóinak összege éppen 2M, ezért osztóinak átlaga M(2/τ(M)), ahol τ(M)-mel M osztóinak számát jelöljük. Bármely M-re, τ(M) akkor és csak akkor páratlan, ha M négyzetszám, hiszen egyébként M bármely d osztója párosítható egy másik M/d osztóval. De tudjuk, hogy egyetlen tökéletes szám sem négyzetszám: ez következik a páros tökéletes számok ismert formájából és hogy a páratlan tökéletes számok (ha léteznek ilyenek) szükségszerűen rendelkeznek olyan q osztóval, hogy qα ahol α ≡ 1 (mod 4). Tehát M tökéletes számra, τ(M) páros, és az osztók átlaga az M szorzata a 2/τ(M) törttel; ezért M osztóharmonikus szám.
Ore feltevése szerint az 1-en kívül nem létezik más páratlan osztóharmonikus szám. Ha ez igaznak bizonyul, abból következik az is, hogy nem léteznek páratlan tökéletes számok.
Korlátok és számítógépes keresések
[szerkesztés]W. H. Mills megmutatta, hogy bármely egynél nagyobb páratlan osztóharmonikus számnak rendelkeznie kell 107-nél nagyobb prímtényezővel, Cohen pedig igazolta, hogy legalább három prímtényezőjének kellene lennie. Cohen and Sorli (2010) megmutatták, hogy nem létezik 1024-nél kisebb páratlan osztóharmonikus szám.
Cohen, Goto, és mások különböző számítógépes kereséseket végeztek a kis osztóharmonikus számok megtalálására. Előállították az ismert, 2×109-nél kisebb osztóharmonikus számok listáját, valamint az összes osztóharmonikus számot, ahol az osztók harmonikus közepe legfeljebb 300.
Jegyzetek
[szerkesztés]- Bogomolny, Alexander: An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer. (Hozzáférés: 2006. szeptember 10.)
- Cohen, Graeme L. (1997). „Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean”. Mathematics of Computation 66 (218), 883–891. o. DOI:10.1090/S0025-5718-97-00819-3.
- (2010) „Odd harmonic numbers exceed 1024”. Mathematics of Computation 79 (272), 2451. o. DOI:10.1090/S0025-5718-10-02337-9. ISSN 0025-5718. Posted electronically on April 9, 2010; to appear in print.
- Goto, Takeshi: (Ore's) Harmonic Numbers. [2006. január 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2006. szeptember 10.)
- Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 978-0-387-20860-2
- Muskat, Joseph B. (1966). „On Divisors of Odd Perfect Numbers”. Mathematics of Computation 20 (93), 141–144. o, Kiadó: American Mathematical Society. DOI:10.2307/2004277.
- Ore, Øystein (1948). „On the averages of the divisors of a number”. American Mathematical Monthly 55 (10), 615–619. o, Kiadó: Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2305616.
- Weisstein, Eric W.: Harmonic Divisor Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Harmonic divisor number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ A kifejezésnek korábban nem volt elfogadott magyar elnevezése, de a "harmonic divisor number" tükörfordításaként kevésbé félrevezető, mint a szakirodalomban néha előforduló (és más fogalmakra is használt) harmonikus szám.