Téglalapszámok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A számelméletben a téglalapszámok olyan figurális számok számok, melyek felírhatók két, egymást követő nemnegatív egész szám szorzataként, tehát n(n + 1) alakban.[1] Már Arisztotelész is tanulmányozta őket. A téglalapszámok általánosíthatók az n(n + k) alakú számokra.

Az első néhány téglalapszám:

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462 … (A002378 sorozat az OEIS-ben).

Figurális számokként[szerkesztés]

Arisztotelész metafizikájában a téglalapszámokat más figurális számokkal, a háromszögszámokkal és négyzetszámokkal együtt tanulmányozták[2], felfedezésük még korábbra, a püthagoreusokhoz köthető.[3] A sokszögszámok mintájára:

* * * * *
* * *
* * * *
* * * *
* * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
1×2 2×3 3×4 4×5

Az n-edik téglalapszám épp kétszerese az n-edik háromszögszámnak[1][2] és n-nel haladja meg az n-edik négyzetszámot, ami az alternatív n2 + n képletükből is világos. Az n-edik téglalapszám éppen a páratlan négyzetszám (2n + 1)2 és az (n+1)-edik középpontos hatszögszám közötti különbség.

Első n téglalapszám összege[szerkesztés]

A téglalapszámok egy részösszegének vizuális ábrázolása
A téglalapszámok egy részösszegének vizuális ábrázolása

A téglalapszámok figurális mivoltuk miatt a legegyszerűbben téglalapokként ábrázolhatóak, ahogyan az ábrán látható. Az első n téglalapszám összegét meghatározhatjuk, ha a nagy téglalap területéből kivonjuk a nem kellő területeket.

A nagy téglalap területe .

Megfigyelhető, hogy a felesleges részek területei soronként az első 1, 2, ..., n-1 pozitív szám összegei, azaz .

Továbbá látható, hogy a felesleges részek pontosan az első n-1 téglalapszám összegének a fele.

Ekkor ha az első n téglalapszám összegét adja meg, akkor .

Felhasználva, hogy és az algebra szabályait segítségül hívva:

Azaz

Reciprokösszegek[szerkesztés]

Az első n pozitív téglalapszám reciprokösszege a következőképpen alakul:

Ebből kifolyólag a pozitív téglalapszámok reciprokösszege 1:[4]

Általánosítás[szerkesztés]

A téglalapszámok általánosíthatóak alakúra, ahol . Ebben az esetben az első n pozitív téglalapszám reciprokösszege a következő:

ahol a az első n pozitív egész szám reciprokainak összegét, azaz az n-dik harmonikus számot adja meg.

Ezen összeg esetben:

Következtetésképpen megállapíthatjuk, hogy a k különbségű pozitív téglalapszámok reciprokainak összege , ahol a k-dik harmonikus szám.

További tulajdonságaik[szerkesztés]

Az n-edik téglalapszám megegyezik az első n páros egész szám összegével.[2] Ebből következik az is, hogy az összes téglalapszám páros, és közülük egyedül a 2 prímszám. Szintén a 2 az egyetlen Fibonacci-téglalapszám és az egyetlen téglalap Lucas-szám.[5][6]

A négyzetes mátrix átlón kívüli elemeinek száma mindig téglalapszám.[7]

A tény, hogy az egymást követő egészek mindig relatív prímek, a téglalapszámok pedig két egymást követő egész szorzatai, néhány új tulajdonsághoz vezetnek. A téglalapszám minden prímtényezője az őt alkotó tényezők közül pontosan az egyikben fordul elő. Tehát egy téglalapszám csakkor négyzetmentes, ha n és n + 1 is négyzetmentesek. A téglalapszámok különböző prímtényezőinek száma megegyezik az n és n + 1 különböző prímtényezői számának összegével.

További tulajdonsága a téglalapszámoknak, hogy az n-nél 0,5-del nagyobb szám négyzete pont az n-edik téglalapszámnál 0,25-dal nagyobb. Például: 7,52 = 56,25

Még egy másik tulajdonságuk, hogy bármelyik n alapú számrendszerben az n-edik, vagyis a számrendszer alapszámával megegyező sorszámú téglalapszám 110 alakban írható fel. Például a nyolcas számrendszerben az : szám 72-t jelent, amely pont a 8. téglalapszám. A tízes számrendszerben épp a tizedik téglalapszám, írható fel 110 (száztíz) alakban. Ennek oka ugyanaz, ami miatt a n2 + n is az egyik kiszámítási képlet alternatívája, vagyis az n-edik téglalapszám az n szám (számrendszer alapszáma) első két hatványának összege.

További információk[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Pronic number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. ^ a b Conway, J. H. & Guy, R. K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, Figure 2.15, p. 34.
  2. ^ a b c Knorr, Wilbur Richard (1975), The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co., pp. 144–150, ISBN 90-277-0509-7, <https://books.google.com/books?id=_1H6BwAAQBAJ&pg=PA144>.
  3. Ben-Menahem, Ari (2009), Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volume 1, Springer reference, Springer-Verlag, p. 161, ISBN 9783540688310, <https://books.google.com/books?id=9tUrarQYhKMC&pg=PA161>.
  4. Marc Frantz: The Telescoping Series in Perspective. In Caren L. Diefenderfer – Roger B. Nelsen: The Calculus Collection: A Resource for AP and Beyond. (angolul) Washington, D.C.: Mathematical Association of America. 2009. 467–468. o. = Classroom Resource Materials, ISBN 9780883857618 Hozzáférés: 2018. máj. 3.  .
  5. McDaniel, Wayne L. (1998), "Pronic Lucas numbers", Fibonacci Quarterly 36 (1): 60–62, <http://www.mathstat.dal.ca/FQ/Scanned/36-1/mcdaniel2.pdf>.
  6. McDaniel, Wayne L. (1998), "Pronic Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly 36 (1): 56–59, <http://www.fq.math.ca/Scanned/36-1/mcdaniel1.pdf>.
  7. Rummel, Rudolf J. (1988), Applied Factor Analysis, Northwestern University Press, p. 319, ISBN 9780810108240, <https://books.google.com/books?id=g_eNa_XzyEIC&pg=PA319>.