Kiváló erősen összetett számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A d(n) osztószámfüggvény grafikonja n = 250-ig

A számelméletben a kiváló erősen összetett számok (superior highly composite number, SHCN) olyan pozitív egész számok, melyeknek a náluk kisebb számoknál több osztójuk van, egy bizonyos módon skálázva a számokat. Ez erősebb megkötés, mint az erősen összetett számoké, mely csak azt követeli meg, hogy több osztójuk legyen, mint bármely náluk kisebb számnak.

Az első 10 kiváló erősen összetett szám és prímtényezős felbontásuk:

# prím-
tényezők
SHCN
n
prím-
felbontás
prím-
kitevők
# osztók
d(n)
primoriális
felbontás
1 2 2 1 2 2 2
2 6 2 ⋅ 3 1,1 22 4 6
3 12 22 ⋅ 3 2,1 3×2 6 2 ⋅ 6
4 60 22 ⋅ 3 ⋅ 5 2,1,1 3×22 12 2 ⋅ 30
5 120 23 ⋅ 3 ⋅ 5 3,1,1 4×22 16 22 ⋅ 30
6 360 23 ⋅ 32 ⋅ 5 3,2,1 4×3×2 24 2 ⋅ 6 ⋅ 30
7 2520 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 3,2,1,1 4×3×22 48 2 ⋅ 6 ⋅ 210
8 5040 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 4,2,1,1 5×3×22 60 22 ⋅ 6 ⋅ 210
9 55440 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 4,2,1,1,1 5×3×23 120 22 ⋅ 6 ⋅ 2310
10 720720 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 4,2,1,1,1,1 5×3×24 240 22 ⋅ 6 ⋅ 30030

Formális definíció szerint: n pozitív egész akkor kiválóan erősen összetett szám, ha létezik olyan pozitív ε valós szám, amire minden k természetes számra

,

ahol d(n) az osztószám-függvény, ami n osztóinak számát jelöli. A kifejezést Rámánudzsan használta először 1915-ben.

Az első 15 kiváló erősen összetett szám – 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (A002201 sorozat az OEIS-ben) – megegyezik az első 15 kolosszálisan bővelkedő számmal, melyek hasonló feltételnek tesznek eleget, de az osztóösszeg-függvény alapján.

Jegyzetek[szerkesztés]

  • (1915) „Highly composite numbers”. Proc. London Math. Soc. (2) 14, 347-409. o. DOI:10.1112/plms/s2_14.1.347.   Reprinted in Collected Papers (Ed. G. H. Hardy et al.), New York: Chelsea, pp. 78–129, 1962
  • Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag, 45–46. o. (2006). ISBN 1-4020-4215-9 

További információk[szerkesztés]