Társas számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A társas számok vagy társasági számok (sociable numbers) olyan pozitív egész számok, melyek osztóösszeg-sorozatában osztóösszeg-kör található; tehát az elejétől kezdve állandóan egy periódus ismétlődik. A társas számok a tökéletes számok és barátságos számok általánosításának tekinthetők. Az első két társasszám-láncot 1918-ban Paul Poulet belga matematikus találta meg és nevezte el. Társas számok adott láncolatában minden szám előáll az előző szám valódi osztóinak összegeként. Ahhoz, hogy a szám társas legyen, a sorozatnak az elejétől kezdve ciklikusnak kell lennie, tehát vissza kell térnie a kiindulópontjához.

A sorozat periódusa vagy a társas számok halmazának rendje a ciklusban található különböző számok száma.

Ha a sorozat periódusa 1, 1 rendű társas számról vagy tökéletes számról beszélünk – például a 6 valódi osztói 1, 2 és 3, melyek összege 6-ot eredményez. A barátságos számpárok esetében a társas számok halmazának a rendje 2. Nem ismertek 3-adrendű társas számok.

Nyitott kérdés, hogy vajon minden szám osztóösszeg-sorozata egy társas szám alkotta körben vagy egy prímszámban (és így 1-gyel) végződik, vagy léteznek olyan számok, melyek sorozata soha nem áll meg és nem is periodikus (tehát korlátok nélkül növekszik).

Példa[szerkesztés]

Példa egy 4 periódusú társas számra:

() valódiosztó-összege:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860.
() valódiosztó-összege:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636.
() valódiosztó-összege:
1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184.
() valódiosztó-összege:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

Ismert társas számok[szerkesztés]

A következő táblázat összefoglalja a 2015 novemberében ismert társas számokat osztóösszeg-körük hossza alapján:

Sorozat

hossza

Ismert sorozatok

száma

1

(Tökéletes szám)

49
2

(Barátságos szám)

15 674 225[1]
4 366
5 1
6 5
8 4
9 1
28 1

Gráfelméleti megjelenítés[szerkesztés]

Az osztóösszeg-sorozat megjeleníthető irányított gráfként. Tartozzon az egész számhoz irányított gráf, ahol jelöli valódi osztóinak összegét.[2] Ekkor a gráfban található körök asz intervallumban található társas számokat jelölik. A hurkok tökéletes számokat jelölnek, a kettő hosszúságú körök pedig barátságos számokat.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Sergei Chernykh Amicable pairs list
  2. Rocha, Rodrigo Caetano & Thatte, Bhalchandra (2015), Distributed cycle detection in large-scale sparse graphs, Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), <http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.1.1233.8640>

További információk[szerkesztés]