Csillagtestszámok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Csillagtest formába pakolt 124 mágneses golyóbis

A számelméletben a csillagoktaéder-számok vagy csillagtestszámok olyan poliéderszámok, illetve figurális számok, melyek a sűrűn pakolt gömbökből összeálló csillagtestekben (Stella octangula) részt vevő gömbök számát reprezentálják. Az n-edik csillagtestszám a következő képlettel állítható elő[1][2]:

Az első néhány csillagtestszám:

1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444, 4381, 5474, 6735, 8176, 9809, 11646, 13699, 15980, 18501, 21274, 24311, 27624, 31225, 35126, 39339, 43876, 48749, 53970, 59551, 65504, 71841, 78574, 85715, 93276, 101269, 109706, 118599, 127960… (A007588 sorozat az OEIS-ben)[1]

Kapcsolat más figurális számokkal[szerkesztés]

Ha az n-edik oktaéderszám és az n-edik tetraéderszám, akkor

Tulajdonságai, alkalmazásai[szerkesztés]

A csillagtestszámok generátorfüggvénye[3]:

Ljunggren egyenlete[szerkesztés]

Csak két olyan pozitív csillagtestszám létezik, ami egyben négyzetszám is, ezek az 1 és a 9653449 = 31072 = (13 · 239)2, amik az n = 1 és n = 169 esetnek felelnek meg.[1][4] A négyzetes csillagtestszámokat leíró elliptikus görbét,

a vele ekvivalens Weierstrass-alakba helyezve:

a következő változócseréket hajtjuk végre: x = 2m, y = 2n. Mivel az m2 két tényezője, n és 2n2 − 1 relatív prímek, ezért külön-külön is négyzetszámoknak kell lenniük, a változók egy második cseréjével, és pedig a következő Ljunggren-egyenlethez jutunk:

[4]

Siegel egy tétele kimondja, hogy minden elliptikus görbének csak véges számú egész megoldása lehet, Wilhelm Ljunggren (1942) pedig talált egy bonyolult bizonyítást arra, hogy az előbbi egyenlet egész gyökei éppen (1,1) és (239,13), amik a két négyzetes csillagtestszámnak felelnek meg.[5] Louis J. Mordell megsejtette, hogy a bizonyítás leegyszerűsíthető, és valóban, később több szerző is sikeresen leegyszerűsítette azt.[4][6][7]

További információk[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. ^ a b c "Sloane's A007588 : Stella octangula numbers: n*(2*n^2 - 1)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation..
  2. Conway, John & Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9, <http://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA51>.
  3. Wolfram Alpha: Stella octangula number
  4. ^ a b c Siksek, Samir (1995), Descents on Curves of Genus I, Ph.D. thesis, University of Exeter, pp. 16–17, <http://www.warwick.ac.uk/~masgaj/theses/siksek_thesis.pdf>.
  5. Ljunggren, Wilhelm (1942), "Zur Theorie der Gleichung x2 + 1 = Dy4", Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I. 1942 (5): 27.
  6. Steiner, Ray & Tzanakis, Nikos (1991), "Simplifying the solution of Ljunggren's equation X2 + 1 = 2Y4", Journal of Number Theory 37 (2): 123–132, doi:10.1016/S0022-314X(05)80029-0, <http://www.math.uoc.gr/~tzanakis/Papers/LjunggrenEq.pdf>.
  7. Draziotis, Konstantinos A. (2007), "The Ljunggren equation revisited", Colloquium Mathematicum 109 (1): 9–11, DOI 10.4064/cm109-1-2.

Kim, Hyun Kwang, On Regular Polytope Numbers, <http://com2mac.postech.ac.kr/papers/2001/01-22.pdf>