Középpontos sokszögszámok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A középpontos sokszögszámok a figurális számok egy fajtája. Olyan alakzatokat jellemeznek, ahol a középpontban egy pont van, és azt sokszög alakú pontrétegek veszik körül. Adott réteg minden oldala eggyel több pontot tartalmaz, mint a korábbi réteg, így a második sokszögrétegtől kezdve egy középpontos k-szögszám minden rétege k-val több pontot tartalmaz a korábbinál.

Példák[szerkesztés]

Mindegyik sorozat előáll a háromszögszám valahányszorosához 1-et hozzáadva. Például a középpontos négyzetszámok a háromszögszám négyszerese plusz 1 képlettel állnak elő.

A sorozatok:

s.í.t.

A következő ábrák középpontos sokszögszámok vannak, megrajzolásuk folyamatát is bemutatva. Érdemes összehasonlítani a sokszögszámok cikkben található ábrákkal.

Középpontos négyzetszámok[szerkesztés]

1     5     13     25
*             *    *
 * 
*    *
            *    *    *
 *    * 
*    *    *
 *    * 
*    *    *
            *    *    *    *
    *    *    *    
*    *    *    *
    *    *    *    
*    *    *    *
    *    *    *    
*    *    *    *

Középpontos hatszögszámok[szerkesztés]

1     7     19     37
*             *  *
*  *  *
*  *
            *  *  *
*  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *
*  *  *
            *  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *  *  *
*  *  *  *  *  *  *
*  *  *  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *

Képlet[szerkesztés]

Ahogy a fenti ábrákból látható, az n-edik középpontos k-szögszám megkapható, ha az (n−1)-edik háromszögszámból k másolatot helyezünk el egy középpont körül; ezért az n-edik középpontos k-szögszám kifejezhető így:

Ahogy a sima sokszögszámoknál is, az első k-szögszám mindig 1. Tehát bármilyen k számra 1 egyaránt k-szögszám és középpontos k-szögszám. A következő olyan szám, ami egyaránt k-szögszám és középpontos k-szögszám a következő képlettel számolható:

ami szerint a 10 háromszögszám és középpontos háromszögszám, a 25 négyzetszám és középpontos négyzetszám stb.

Amíg a p prímszámok nem lehetnek sokszögszámok (eltekintve a triviális ténytől, hogy minden p a második p-szögszám), a középpontos sokszögszámok között sok prímszám található.

Jegyzetek[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]