Középpontos négyzetszámok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A számelméletben középpontos négyzetszám minden olyan szám, amely egy középső pont körül négyzet alakú rétegekben elrendezett pontok számát adja.

Az első négy középpontos négyzetszám előállítását mutatja a következő ábra:

GrayDot.svg     GrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
    GrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
    GrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
           

Viszony más nevezetes számokkal[szerkesztés]

Az n. középpontos négyzetszám az alábbi képlettel adódik.

Más szóval minden középpontos négyzetszám két egymást követő négyzetszám összege. Ezt szemlélteti az alábbi minta:

GrayDot.svg     RedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
    GrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svg
    RedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svgGrayDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
           

Ez a képlet megfogalmazható a következőképpen is:

ezt illusztrálja az alábbi:

GrayDot.svg     GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
    GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
    GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
           

Mint minden középpontos sokszögszám, a középpontos négyzetszámok is kifejezhetőek háromszögszámok függvényeként:

ahol Tn az n. háromszögszám:

Ez utóbbi tény egyszerűen belátható, elegendő kivenni a középső pontot, majd a maradék ábrát felosztani négy háromszögre az alábbiak szerint:

BlackDot.svg     RedDot.svg
GrayDot.svgBlackDot.svgGrayDot.svg
RedDot.svg
    RedDot.svg
RedDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgBlackDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
    RedDot.svg
RedDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
RedDot.svgRedDot.svgRedDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgBlackDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgRedDot.svgRedDot.svgRedDot.svg
GrayDot.svgRedDot.svgRedDot.svg
RedDot.svg
           

Tulajdonságok[szerkesztés]

Az első néhány középpontos négyzetszám a következő:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, … (A001844 sorozat az OEIS-ben)

Minden középpontos négyzetszám páratlan.

Minden középpontos négyzetszám és azok minden osztója néggyel osztva egyet ad maradékul.

Az 1 kivételével minden középpontos négyzetszám pitagoraszi számhármas legnagyobb tagja. Például: (3; 4; 5), (5; 12; 13)

Középpontos négyzetprímek[szerkesztés]

A középpontos négyzetprímek olyan középpontos négyzetszámok, amelyek prímszámok. Az első néhány középpontos négyzetprím a következő:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, … (A027862 sorozat az OEIS-ben)

Hivatkozások[szerkesztés]

  • U. Alfred, "n and n + 1 consecutive integers with equal sums of squares", Math. Mag., 35 (1962): 155 - 164.
  • T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, (1976): 3.
  • A. H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers. New York: Dover (1964): 125
  • Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 41-42, 1996. ISBN 0-387-97993-X

Külső hivatkozások[szerkesztés]