Pitagoraszi számhármasok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A pitagoraszi számhármasok az egész oldalhosszúságú derékszögű háromszögek oldalhosszaiból álló számhármasok. A Pitagorasz-tétel értelmében az pozitív egészekből álló hármas pitagoraszi számhármas, ha megoldásai az diofantoszi egyenletnek.

Példák[szerkesztés]

A legkisebb számokból álló pitagoraszi számhármas a , hiszen . Ebből azonnal kapható végtelen sok pitagoraszi számhármas, ugyanis bármely esetén is az.

Pitagoraszi számhármasok előállítása[szerkesztés]

Meg fogjuk mutatni, hogy az diofantoszi egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:

vagy ebből x és y felcserélésével, ahol d,s,t pozitív egész számok, s>t, s és t különböző paritásúak és relatív prímek.

Például, ha d=1, s=2, t=1, akkor a fenti példából ismert x=4, y=3, z=5 hármast kapjuk.

Bizonyítás[szerkesztés]

Az ilyen alakú hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:

A másik irányhoz tegyük fel, hogy az x, y, z számokra teljesül. Leosztva a számok d legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkor x, y és z közül bármely kettő is relatív prím. Speciálisan nem lehet x és y egyszerre páros. De nem lehetnek egyszerre páratlanok sem, mert amúgy 2 maradékot adna 4-gyel osztva, ezért nem lehet négyzetszám.

Tehát x és y közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjuk x páros és y páratlan. Az egyenlet szerint z is páratlan. Ekkor:

A jobb oldal mindkét tényezője páros: , (a,b pozitív egészek). Itt a és b relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztaná -t is. Mivel , azaz ab négyzetszám, a és b maguk is négyzetszámok: , (s,t pozitív egészek és relatív prímek). Ezzel meg is van a kívánt előállítás: miatt , , . Mivel y pozitív és páratlan, ezért s>t is teljesül, valamint s és t különböző paritású.

Források[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]