Pitagoraszi számhármasok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A pitagoraszi számhármasok azok a pozitív egészekből álló (x,y,z) számhármasok, amelyekre teljesül. Más szóval az diofantoszi egyenlet megoldásai. Ekkor Pitagorasz-tétel értelmében x, y, z egy derékszögű háromszög oldalai.

Példák (d tetszőleges pozitív egész szám):

x y z
4d 3d 5d
12d 5d 13d
24d 7d 25d
15d 8d 17d
40d 9d 41d

A fenti egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:

vagy ebből, x és y felcserélésével (itt s>t pozitív egész számok). Például, ha d=1, s=2, t=1, akkor az ismert x=4, y=3, z=5 hármast kapjuk.

Az ilyen hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:

A másik irányhoz tegyük fel, hogy az x, y, z számokra teljesül. Leosztva a számok legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkor x, y és z közül bármely kettő is relatív prím. x és y közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjuk x páros. Ekkor

a jobb oldal mindkét tényezője páros (különbségük páros, de mindkettő páratlan nem lehet): , . Itt a és b relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztaná -t is. Mivel , azaz ab négyzetszám, a és b maguk is négyzetszámok: , . Ezzel meg is van a kívánt előállítás: miatt , , .

További érdekességek[szerkesztés]

Vizsgáljuk egy kicsit érdekesebben ezt az egyenletet: (Ekkor a c: átfogó hossza, b: hosszabbik befogó h., a: rövidebbik befogó hossza).

Ha c2 és b2 egymás után következő négyzetszámok különbsége egy újabb négyzetszám, akkor olyan pitagoraszi számhármast kapunk ahol:

c és b különbségét onnan tudjuk meghatározni, hogy felírjuk az egymást követő négyzetszámok különbségét. Ekkor kapunk egy számtani sorozatot, ahol d=2. Ebben a sorozatban keresünk négyzetszámokat (pl. 9,16,25,...). Ha megnézzük a kilences sorszámát (ebben az esetben a 4. szám a 9-es), akkor már tudjuk, hogy a 9 a 4. és az 5. négyzetszám különbsége. A 4. négyzetszám a 16, az 5. négyzetszám a 25. Ha behelyettesítünk a fenti egyenletbe, akkor:

25-16=9, azaz 52-42=32

Ekkor kapunk egy számhármast és most ellenőrizzük le a másik kettő egyenlet helyességét.

Tehát:

, ha behelyettesítünk: 5-4=1

Tehát ennek a résznek annyi a lényege, hogy kihasználjuk a négyzetszámok közötti különbségek sorozatát ahhoz, hogy újabb pitagoraszi számhármasokat keressünk. Igaz, hogy ez a megoldás csak páratlan négyzetszámokra igaz, de ez is egy módja, hogy könnyen keressünk ilyen számhármasokat. Ha a sorozatban találunk négyzetszámot/négyzetszámokat, akkor csak a sorszámát kell megvizsgálni. Ha például ez a négyzetszám a 25, akkor annak sorszáma 12. Így a számhármas könnyen megállapítható egy másik módon. Ha a négyzetszám sorszámát és az attól eggyel nagyobb számot viszgáljuk, jelen esetben a 12-t és a 13-t, akkor meg is kapjuk a számhármast.(Tekintsük a négyzetszám sorszámát x-nek, az eggyel nagyobb sorszámot, pedig y-nak, z pedig a talált négyzetszám), ekkor:

1.y ( y: az átfogó hossza)

2.x ( x: a hosszabbik befogó hossza)

3. ( z: a rövidebbik befogó hossza)