Pitagoraszi számhármasok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A pitagoraszi számhármasok azok a pozitív egészekből álló (x,y,z) számhármasok, amelyekre teljesül. Más szóval az diofantoszi egyenlet megoldásai. Ekkor Pitagorasz-tétel értelmében x, y, z egy derékszögű háromszög oldalai.

Példák (d tetszőleges pozitív egész szám):

x y z
4d 3d 5d
12d 5d 13d
24d 7d 25d
15d 8d 17d
40d 9d 41d

A fenti egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:

vagy ebből, x és y felcserélésével (itt s>t pozitív egész számok). Például, ha d=1, s=2, t=1, akkor az ismert x=4, y=3, z=5 hármast kapjuk.

Az ilyen hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:

A másik irányhoz tegyük fel, hogy az x, y, z számokra teljesül. Leosztva a számok legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkor x, y és z közül bármely kettő is relatív prím. x és y közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjuk x páros. Ekkor

a jobb oldal mindkét tényezője páros (különbségük páros, de mindkettő páratlan nem lehet): , . Itt a és b relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztaná -t is. Mivel , azaz ab négyzetszám, a és b maguk is négyzetszámok: , . Ezzel meg is van a kívánt előállítás: miatt , , .