Diofantoszi egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a diofantoszi egyenlet (a 3. században élt görög matematikusról, Diophantoszról vannak elnevezve) olyan egész együtthatós, általában többismeretlenes algebrai egyenlet, amelynek megoldásait az egész, ritkábban a természetes számok, illetve racionális számok körében keressük.

Legegyszerűbb az elsőfokú, kétismeretlenes diofantoszi egyenlet, melyet a következő alakban szokás felírni: ax+by = c. Ennek az egyenletnek akkor és csakis akkor van egész számokból álló megoldása, ha az ismeretlenek együtthatóinak legnagyobb közös osztója a jobb oldalra írt állandónak is osztója. A fentebbi tulajdonságuk alapján a diofantoszi egyenletet fel lehet használni legnagyobb közös osztó megállapítására is. Az elsőfokú diofantoszi egyenlet megoldására ismeretesek különböző eljárások, de a magasabb fokúakra alig ismerünk általános megoldási módszereket.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lineáris egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ax+by=m egyenlet egész számokban akkor és csak akkor oldható meg, ha (a,b)| m. Ha kikötjük, hogy a,b,m pozitív egész legyen és (a,b)=1, akkor pontosan (a-1)(b-1)/2 olyan m szám van, ami nem állítható elő nemnegatív x-szel és y-nal ax+by alakban, a legnagyobb közülük (a-1)(b-1)-1. Általában az a_1x_1+\cdots+a_nx_n=m egyenlet pontosan akkor oldható meg egészekben,ha (a_1,\dots,a_n)|m.

Pell-egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Pell-egyenlet az x^2-dy^2=1 diofantoszi egyenlet, ahol d>0 nem négyzetszám. Az x=\pm 1, y=0 megoldás triviális, tehát a nemtriviális megoldásokat keressük. Minden Pell-egyenletnek végtelen sok megoldása van és ezek (\pm x_n,\pm y_n) alakban írhatók, ahol x_n+\sqrt{d}y_n=(x_1+\sqrt{d}y_1)^n teljesül ((x_1,y_1) az alapmegoldás).

Pitagoraszi számhármasok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A pitagoraszi számhármasok az x^2+y^2=z^2 diofantoszi egyenlet megoldásai. A megoldások általános alakja x=t2uv, y=t(u^2-v^2), z=t(u^2+v^2).

A pitagoraszi számhármasok általánosításaként Fermat azt állította 1637-ben, hogy ha 2 helyett nagyobb egész kitevős hatványt veszünk, akkor az egyenletnek nem lesznek pozitív egészekből álló megoldásai. Ennek igazolása több, mint 350 évbe telt, és nagy hatással volt az algebra fejlődésére a test- és gyűrűelmélet terén.

Két négyzetszám összege[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kétnégyzetszám-tétel szerint, ha n természetes szám, akkor az x^2+y^2=n diofantoszi egyenlet pontosan akkor oldható meg, ha n prímhatvány-felbontásában minden 4k-1 alakú prím páros kitevővel szerepel. A megoldások száma is pontosan meghatározható.

Gyökös diofantoszi egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyökös diofantoszi egyenletek alakja

 a_1 \sqrt[p_1]{q_1} \pm a_2\sqrt[p_2]{q_2} ... \pm a_s\sqrt[p_s]{q_s}=0

ahol

 a_1,a_2,...,a_s, q_1,q_2,...,q_s,p_1,p_2,...,p_s,s

mind egészek.

Ezekre az egyenletekre a lineáris egyenletekhez hasonlóan van általános algoritmus.

Exponenciális diofantoszi egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy diofantoszi egyenletben további ismeretlen(ek) vannak, amely(ek) kitevőként szerepel(nek), akkor ez exponenciális diofantoszi egyenlet. Egy példa ilyenre a Ramanujan-Nagell egyenlet, 2^n-7=x^2. Ilyen egyenletekre nem létezik általános elmélet. Speciális esetekre, mint a Catalan-sejtés, van megoldás; azonban a többségüket ad hoc módon oldják meg, akár a Størmer-módszerrel, vagy próbálgatással.

Elemzésük[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A diofantoszi egyenletek megoldásainak keresésében segítenek ezek a kérdések:

  • Megoldható az adott egyenlet?
  • Vannak-e még más megoldások is az ismerteken kívül?
  • Véges, vagy végtelen megoldás van-e?
  • Tényleg létezik-e minden, elméletben létező megoldás?
  • Kiszámítható-e az összes megoldás?

Ezek sokszor évszázadokig nyitott kérdések voltak. Fermat sejtését csak a 20. század végén tudta bizonyítani Andrew Wiles az algebrai geometria eszközeivel. Az 1922-ben felvetett Mordell-sejtést, ami szerint az 1-nél nagyobb nemszámú görbéknek csak véges sok racionális pontja lehet, 1983-ban látta be Gerd Faltings. Ez a Faltings-tétel.

Hilbert tizedik problémája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A diofantoszi egyenletek megoldhatósága a David Hilbert által 1900-ban kitűzött problémák közé tartozott. Ez volt a nevezetes tizedik probléma. 1970-ben Jurij Vlagyimirovics Matijasevics oldotta meg azzal, hogy a probléma eldönthetetlen, vagyis nincs közös algoritmus az összes diofantoszi egyenletre.

A diofantoszi egyenletek elmélete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ismertebb általános módszerek a végtelen leszállás és a Hasse-elv. Ezek inkább a megoldhatatlanság bizonyítására, mint a megoldások keresésére valók. A végtelen leszállás alkalmazásakor egy feltételezett legkisebb megoldásból még kisebb megoldásokat gyártanak, ezzel kimutatják, hogy az egyenlet nem oldható meg a pozitív egészek halmazán. A Hasse-elv a kínai maradéktétel felhasználásával mutatja ki az egyenlet megoldhatatlanságát.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Diophantine equation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.