Pell-egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Pell-egyenlet (John Pell után) az egyik legegyszerűbb diofantoszi egyenlet: x2-dy2=1, ahol d>1 olyan egész szám, amely nem négyzetszám, és pozitív egész megoldásokat keresünk. Minden fenti típusú d értékre van megoldás, méghozzá végtelen sok.

A Pell-egyenletek megoldása[szerkesztés]

Ha az egész d>1 szám nem négyzetszám, akkor irracionális, így Dirichlet approximációs tétele miatt van végtelen sok olyan x/y racionális szám, hogy

Ha K a után következő természetes szám, akkor minden ilyen közelítésre

azaz értéke mindig legfeljebb K. Végtelen sokszor tehát ugyanazt az értéket, mondjuk L-et veszi fel. Ekkor végtelen sokszor x maradéka ugyanaz L-lel osztva és tovább szűkítve, az utóbbi megoldások közül végtelen sokszor ugyanaz y maradéka L-lel osztva. Kapunk tehát két különböző (x,y) és (X,Y) közelítő törtet, hogy egyrészt

másrészt xX mod L és yY mod L. Ekkor

és itt az utóbbi jobboldali számok közül xX-dyY és yX-Yx oszthatók L-lel (xX-dyY ≡ x^2-dy^2 mod L és yX-Yx ≡ xy-xy mod L), azaz Lu és Lv alakúak. Így végigosztva L^2-tel: adódik. Ki kell még zárnunk a hamis megoldás, tehát v=0 lehetőségét. Valóban, ekkor yX-Yx=0, azaz x/y=X/Y teljesülne.

Az összes megoldás[szerkesztés]

Ha az egyenlet legkisebb pozitív megoldása, akkor a többit a képlettel kaphatjuk meg.

A legkisebb megoldás[szerkesztés]

A számelmélet egyik fontos problémája, hogy mekkora egy Pell-egyenlet legkisebb megoldása. Hua Lo Keng az egyenlet (d nem négyzetszám, ) legkisebb megoldására az becslést adta.

Források[szerkesztés]