Nemszám

A matematikában nemszámnak több, egymáshoz közel álló jellemzőt nevezünk.

Topológia

Irányítható felületek

A nemszám egy topológiai invariáns, ami a sima, kompakt és irányítható felületeken levő lyukak számát adja meg. Jele $g$ .

Egy felület nemszáma, vagy neme azoknak az egyszeresen összefüggő zárt görbéknek a maximális számával egyezik meg, amelyek mentén szétvágva a felületet a felület összefüggő marad.

Az $S^{2}$ gömbfelület nemszáma 0, mivel nincsenek rajta lyukak, vagyis bármely egyszerű zárt görbe mentén szétvágva szétesik.

A tóruszfelület nemszáma 1, mert a tengelyére merőlegesen egy kör mentén felvágva egyben marad. Minden további vágás már több darabra osztja.

Zárt felületekre a $\chi$ Euler-karakterisztika és a g nemszám összefüggése:

χ = 2 - 2g

Általánosabban, ha a felület határa b komponensből áll, akkor:

χ = 2 − 2g − b.

Nem irányítható felületek

A nem irányítható felületek nemszáma a keresztsapkák számát adja meg. Az Euler-karakterisztikával is számítható:

χ = 2 − k

ahol k a nem irányítható felület nemszáma.

A projektív sík nemszáma 1.

A Klein-palack nemszáma 2.

Csomók

Egy csomó nemszáma megegyezik Seifert-felületeinek minimális számával. A Seifert-felület egy határolt sokaság, aminek határa a csomó, vagyis a határ homeomorf a körrel. Ennek a felületnek a nemszámát annak a felületnek a nemszámával definiálják, amit úgy kapunk, hogy a határra körlapot ragasztunk.

Gráfok

Egy gráf nemszáma az a legkisebb szám, amilyen nemű felületre a gráf élátmetszés nélkül felrajzolható. A síkgráfok felrajzolhatók gömbre élátmetszés nélkül, tehát nemszámuk 0.

Egy gráf nem irányítható nemszáma az a legkisebb nemszám, amilyen nemű nem irányítható felületre felrajzolható élátmetszés nélkül.

Ha n a gráf Euler-nemszáma, akkor n azoknak a számoknak a minimuma, hogy a gráf élátmetszés nélkül n nemszámú nem irányítható felületre, vagy n / 2 nemszámú irányítható felületre felrajzolható.^[1]

A topológiai gráfelméletben többféleképpen is definiálják egy csoport nemszámát. Arthur T. White definíciója szerint egy csoport nemszáma megegyezik összefüggő irányított Cayley-gráfjainak nemszámával.

A gráfok nemszáma NP-teljes probléma.^[2]

Algebrai geometria

A projektív algebrai görbékre két rokon nemszám vezethető be: az algebrai és a geometriai nem. Ha X a komplex számok fölött definiált nem szinguláris algebrai görbe, akkor ezek a definíciók ugyanazt a mennyiséget eredményezik, továbbá megegyeznek X Riemann-felületének nemszámával, amit a görbe komplex pontjai alkotnak. Az elliptikus görbék definíciója is a nemszámra támaszkodik: 1 nemszámú algebrai görbék egy adott racionális ponttal.

Jegyzetek

↑ Graphs on surfaces
↑ (1989) „The graph genus problem is NP-complete”. J. of Algorithms 10 (4), 568–576. o. DOI:10.1016/0196-6774(89)90006-0. ISSN 0196-6774.

Források

V.G.Boltjanskij, V.A.Efremovič, Anschauliche kombinatorische Topologie. Mit einem Vorwort von S. P. Novikov. Übersetzt aus dem Russischen und mit einem Vorwort von Detlef Seese und Martin Weese. Mathematische Schülerbücherei 129. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1986. 176 pp. ISBN 3-326-00008-1

[1] Graphs on surfaces

[2] (1989) „The graph genus problem is NP-complete”. J. of Algorithms 10 (4), 568–576. o. DOI:10.1016/0196-6774(89)90006-0. ISSN 0196-6774.

[1]

[2]