Figurális számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A figurális számok (ábrás számok, idomszámok) felfedezését a püthagoreusoknak tulajdonítják, akik a számokat kavicsokkal, magokkal szemléltették. Megpróbáltak különböző számú kavicsból szabályos alakzatokat kirakni. Azokat a számokat, amelyekből sikerült egy adott alakzat kirakása, figurális számoknak nevezték.[1] A figurális számok leggyakoribb használatuk szerint a háromszögszámok általánosítása különböző formákra (pl. sokszögszámok és középpontos sokszögszámok) és dimenziókra (poliéderszámok, politópszámok), de lehetnek L-alakok, csillag- vagy keresztformák stb.

Története[szerkesztés]

A figurális számok felfedezését a püthagoreusokhoz kötik, valószínűleg babiloni vagy egyiptomi előzményekkel. A gnómon használatát a figurális számok képzéséhez szintén Pitagorasznak tulajdonítják. Ezek az állítások nem nyugszanak biztos alapokon, mivel a püthagoreusokról szóló korabeli írásoknak mind nyoma veszett, csak évszázadokkal későbbi információink vannak[2] are from centuries later.[3] Az biztosnak látszik, hogy a negyedik, tíz kavicsból álló háromszögszám, a tetraktüsz a püthagoreusok vallásának központi eleme volt. A figurális számok fontosak voltak a pitagoraszi geometriában.

A figurális számok modern kori tanulmányozása Fermat-ig nyúl vissza, különösen a Fermat-féle sokszögszámtételig. Később fontos területét képezte Euler vizsgálódásainak, aki explicit képletet adott a háromszögű négyzetszámokra, más, figurális számokkal kapcsolatos felfedezései mellett.

A figurális számok fontos szerepet töltenek be a modern szórakoztató matematikában is.[4] Kutatások során Ehrhart-polinomokkal vizsgálják őket, amik egy sokszögben vagy poliéderben található egész koordinátájú pontok számát vizsgálják, ha adott faktorral bővítik őket.[5]

Háromszögszámok[szerkesztés]

A háromszögszámokat n = 1, 2, 3…-ra lineáris gnómonok egymásra helyezésével kaphatjuk meg:

* *
**
*
**
***
*
**
***
****
*
**
***
****
*****
*
**
***
****
*****
******

Ezek az binomiális együtthatók. A háromszögszámok (r=2) más dimenziószámokra is érvényes általánosításai a szimplex politópszámok. Az r dimenziós szimplexek figurális számait a Pascal-háromszög r-edik átlója határozza meg.

A szimplex politópszámok r = 1, 2, 3, 4, …-re:

  • (lineáris számok),
  • (háromszögszámok),
  • (tetraéderszámok),
  • (pentatópszámok, 4-szimplex számok)
  • (r-tóp számok, r-szimplex számok).

Sokszögszámok[szerkesztés]

Beszélhetünk középpontos és nem középpontos sokszögszámokról attól függően, hogy a kezdeti egyetlen pontot oldalirányban úgy egészítjük ki, hogy az eredeti pont a következő sokszög csúcsa legyen, vagy úgy, hogy a keletkező sokszög közepében helyezkedjen el.

(nem középpontos) Sokszögszámok[szerkesztés]

A sokszögszám olyan k szám, amihez létezik olyan szabályos sokszög, ami k számú, egymástól egyenlő távolságra lévő pontból kirakható. Például a 16 négyzetszám, mert 16 pontból ki lehet rakni egy négyzetet.

Középpontos sokszögszámok[szerkesztés]

A középpontos sokszögszámoknál a középpontban egy pont van, és azt sokszög alakú pontrétegek veszik körül. Adott réteg minden oldala eggyel több pontot tartalmaz, mint a korábbi réteg, így a második sokszögrétegtől kezdve egy középpontos k-szögszám minden rétege k-val több pontot tartalmaz a korábbinál:

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Figurate number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Figurierte Zahl című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Tuzson Zoltán: A figurális számokról (I.) és Tuzson Zoltán: A figurális számokról (II.)
  2. Taylor, Thomas, The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans
  3. Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C., A History of Mathematics (Second ed.), p. 48
  4. Kraitchik, Maurice (2006), Mathematical Recreations (Second Revised ed.), Dover Books, ISBN 978-0-486-45358-3
  5. Beck, M.; De Loera, J. A. & Develin, M. et al. (2005), "Coefficients and roots of Ehrhart polynomials", Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, vol. 374, Contemp. Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 15–36.

További információk[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]