Háromszögű négyzetszámok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A 36 háromszögű négyzetszám háromszögszám- és négyzetszám-felírásában.

A matematika, közelebbről a számelmélet területén a háromszögű négyzetszámok olyan természetes számok, amik egyszerre háromszögszámok és négyzetszámok. Végtelen sok ilyen szám létezik, az első néhány: 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (A001110 sorozat az OEIS-ben).

Explicit képletek[szerkesztés]

Jelölje Nk a k-adik háromszögű négyzetszámot, sk és tk pedig a hozzá tartozó négyzet és háromszög oldalait, így adódik:

Legyen egy háromszögszám háromszöggyöke . A definícióból és a kvadratikus formulából adódóan Ezért akkor és csak akkor háromszögszám, ha négyzetszám, és természetesen akkor és csak akkor négyzetszám és háromszögszám egyben, ha négyzetszám, tehát ha léteznek olyan és egész számok, melyekre . Ez a Pell-egyenlet egyik példája, ahol n=8. Minden Pell-egyenletnek van egy triviális megoldása (1,0), ezt a nulladik megoldásnak nevezik, és indexe . Ha jelöli adott n-re nézve bármely Pell-egyenlet k-adik nemtriviális megoldását, akkor a végtelen leszállás módszerével megmutatható, hogy és . Ezért bármely Pell-egyenletnek, aminek létezik nem triviális megoldása (ha n nem négyzetszám), végtelen sok megoldása létezik. Az első nem triviális megoldás n=8-ra könnyen megtalálható: (3,1). Az megoldás az n=8 Pell-egyenletre a következő módon ad meg egy háromszögű négyzetszámot annak négyzet- és háromszöggyökével: és Így tehát az első háromszögű négyzetszám, ami a (3,1)-ből adódik az 1, a következő, ami a (17,6) (=6×(3,1)-(1,0))-ból adódik, a 36.

Az Nk, sk és tk sorozatok az OEIS-ben itt találhatók: OEISA001110, OEISA001109, illetve OEISA001108.

1778-ban Leonhard Euler meghatározta az explicit képletet[1][2]

A fentiből következő, de esetenként kényelmesebben használható képletek még:

A megfelelő explicit képletek sk-ra és tk-ra nézve: [2]

és

Pell-egyenlet[szerkesztés]

A háromszögű négyzetszámok keresése a következő módon redukálható a Pell-egyenlet megoldására.[3] Minden háromszögszám felírható t(t + 1)/2 alakban. Ezért olyan t és s egész számokat keresünk, melyekre

Némi átalakítással:

majd helyettesítve x = 2t + 1 és y = 2s-et, a következő diofantoszi egyenlethez jutunk:

ami a Pell-egyenlet egy példánya. Ezt a konkrét darabot a Pk Pell-számok a következőképpen oldják meg:[4]

ezért az összes megoldás kiolvasható a következőből:

Sok azonosság létezik a Pell-számokkal kapcsolatban, ezek a háromszögű négyzetszámokkal kapcsolatos identitásokká alakíthatók.

Rekurrencia-relációk[szerkesztés]

A háromszögű négyzetszámok definiálhatók rekurzív sorozatként, ahogy a hozzájuk kapcsolódó négyzetek és háromszögek oldalai is. Ezek[5]

Továbbá[1][2]

Más karakterizációk[szerkesztés]

Minden háromszögű négyzetszám felírható b2c2 alakban, ahol b / c konvergál négyzetgyök 2 lánctört-alakjához.[6]

A. V. Sylwester rövid bizonyítása arra nézve, hogy végtelen sok háromszögű négyzetszám létezik:[7]

Ha az n(n+1)/2 háromszögszám négyzetszám, akkor a nagyobb

háromszögszám is négyzetszám.

Azért tudjuk ezt, mert három négyzetszám szorzataként áll elő: 22 (a kitevő alapján), (n(n+1))/2 (az n-edik háromszögszám, a kiindulási feltétel alapján) és (2n+1)2 (a kitevő alapján). Négyzetszámok szorzata minden esetben négyzetszám lesz. Ez onnan is tudható, hogy a teljes négyzetnek levés szükséges és elégséges feltétele, hogy páros hatványon szerepeljenek a prímtényezők a prímtényezős felbontásban, és ez a tulajdonság két négyzetszám összeszorzásánál megmarad.

A háromszöggyökök váltakozva eggyel kisebbek egy négyzetszámnál és kétszeresei egy négyzetszámnak (páros k értékekre), illetve négyzetszámok és eggyel kisebbek egy négyzetszám kétszeresénél (páratlan k értékekre). Tehát, és Mindegyik esetben a két négyzetgyök összeszorzása a következőt adja: és

és Más szavakkal, két egymást követő háromszögű négyzetszám különbsége egy harmadik háromszögű négyzetszám négyzetgyökével egyezik meg.

A háromszögű négyzetszámokat előállítő függvény:[8]

Numerikus adatok[szerkesztés]

Ahogy értéke egyre nő, a arány egyre jobban megközelíti a -t, az egymást követő háromszögű négyzetszámok aránya pedig -t. Az alábbi táblázat bemutatja értékeit 0 és 7 között.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. a b History of the Theory of Numbers. Providence: American Mathematical Society, 16. o. [1920] (1999). ISBN 978-0-8218-1935-7 
  2. a b c Euler, Leonhard (1813). „Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)” (Latin nyelven). Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg 4, 3–17. o. (Hozzáférés ideje: 2009. május 11.) „According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.” 
  3. Pell's Equation, Problem Books in Mathematics. New York: Springer, 16–17. o. (2003). ISBN 978-0-387-95529-2. Hozzáférés ideje: 2009. május 10. 
  4. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th, Oxford University Press, 210. o. (1979). ISBN 0-19-853171-0 „Theorem 244” 
  5. Weisstein, Eric W.: Square Triangular Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  6. Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover Publications, 59. o. (1987). ISBN 978-0-486-25357-2 
  7. Pietenpol, J. L. (1962. február 1.). „Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers”. American Mathematical Monthly 69 (2), 168–169. o, Kiadó: Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2312558.  
  8. Plouffe, Simon: 1031 Generating Functions (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique, 1992. augusztus 1. (Hozzáférés: 2009. május 11.)

További információk[szerkesztés]